Title Ovisnost uređaja vektora rizika i portfelja Title (english) Dependence of risk vector and portfolio devices Author Matija Geštakovski Mentor Hrvoje Šikić (mentor) Committee member Hrvoje Šikić (predsjednik povjerenstva) Committee member Vanja Wagner (član povjerenstva)Committee member Rudi Mrazović (član povjerenstva)Committee member Marko Erceg (član povjerenstva)Granter University of Zagreb Defense date and country 2021-10-08, Croatia Scientific / art field, NATURAL SCIENCES Abstract Pojam ovisnost uređaja ili uređaj zavisnosti \(\prec\) između vektora rizika način je na koji možemo uspoređivati vektore rizika u smislu da možemo reći \( X\prec Y \). U \(\mathbb{R}^2\) uređaj zavisnosti je konzistentan s koeficijentima korelacije, Pearsonov \(\varrho_p\), Spearmanov \(\varrho_s\) i Kendallov \(\tau\). U ovom radu diskutiramo o dva načina na koja se mogu uspoređivati vektori rizika, odnosno portfelja. Jedan način je pozitivna zavisnost, odnosno vektor X rizičniji je od vektora Y ako ima jaču pozitivnu zavisnost komponenti. Pozitivnu zavisnost usporedili smo na slučajnim vektorima iz iste Fréchetove klase, odnosno vektorima koji imaju iste marginalne distribucije. Definirali smo neke od uređaja zavisnosti. Kroz usporedbu vrijednosti funkcije distribucije slučajnog vektora po točkama definirali smo ortantni uređaj, a pozitivnu zavisnost opisali i stohastičkim uređajem. U kontekstu ovog uredaja se jačina pozitivne zavisnosti po komponentama slučajnog vektora X definira kao očekivanje \(\mathbb{E}\) [ \( f\) (X)], gdje je funkcija \( f\) takva da očekivanje postoji. U kontekstu ovog rada to očekivanje se interpretira kao mjera rizika u smislu uređaja, odnosno za vektore rizika X i Y možemo reći da je Y rizičniji od X ako Y ima veće očekivanje. Restrikcijom klase funkcija \( f\) na \(\Delta\) -monotone te supermodularne definirali smo uređaje generirane klasom funckija, \(\Delta\) -monoton i supermodularni uređaj. Uređaji definirani na ovaj način su uređaji zavisnosti. U praksi je lakše provjeriti pripada li funckija definiranim klasama te na taj način usporediti rizik vektora rizika, odnosno portfelja. Drugi način diskusije rizičnosti vektora rizika je konveksnost marginalnih distribucija. Restrikcijom klase funkcija \( f\) na konveksne funckije definirali smo konveksni uređaj, analogno za rastuće konveksne funkcije definirali smo i rastući konveksni uređaj. Ako konveksne uređaje restringiramo na vektore rizika u istoj Fréchetovoj klasi, komonotoni vektor je najrizičniji vektor u smislu konveksnog uređaja. Diskusijom rizičnosti funkcijskih modela pokazano je da je usmjereni konveksni uređaj, generiran klasom usmjerenih konveksnih funkcija koje su supermodularne i konveksne po komponentama, dobro definiran i primijenjiv u širokoj klasi modela. Poopćenjem funkcijskih modela na modele s multivarijatnim marginalima pokazano je da, za razliku od modela s jednodimenzionalnim marginalima, ne postoji jedinstven vektor koji generira najveći rizik.
Abstract (english) Dependence ordering \(\prec\) for risk vectors allows us to infer conclusion of the type \( X\prec Y \). Considering risk vectors in \(\mathbb{R}^2\) dependence ordering is consistent with correlation coefficients, Pearson’s \(\varrho_p\), Spearman’s \(\varrho_s\), and Kendall’s \(\tau\). The main notion of this paper is to define and discuss two different ways of comparing risk vectors and portfolios. The first one is increase of positive dependence, risk vector Y bears more risk than risk vector X if Y is stronger positive dependent than X. We will describe positive dependence of risk vectors within the same Fréchet class, risk vectors that have identical marginals. There are several dependence orderings. The first defined was the orthant ordering which is defined as comparison of distribution functions by points. Considering the stochastic integral ordering the positive dependence is described as expectation of risk vector X, \(\mathbb{E}\) [ \( f\) (X)], for function \( f\) such that expectations exists. In this paper the defined expectation is comparable to risk measure since if expectation of risk vector X is less that Y, risk vector Y bears more risk than X. By defining \(\Delta\) -monotonic and supermodular functions we introduce corresponding orderings, \(\Delta\) -monotonic and supermodular ordering, which are generated by class of functions. Ordering defined by class of functions are dependence orderings. In practice it relatively easy to verify properties of functions defined in this way and consequently compare risk vectors and portfolios in terms of positive dependence. The second one is convex increase of marginals. By defining class of convex functions we introduced convex ordering, similarly we define increasing convex ordering. If we restrict risk vectors to the same Fréchet class then comonotonic vector is the worst case joint portfolio, generates the greatest risk. By discussing functional models we note that directionally convex ordering, defined by class of directionally convex functions which are supermodular and convex in each component, as comparison result concerns a large class of models. When considering models with multivariate marginals we conclude that there is not any general worst case vector for portfolio, like there is with models with one-dimensional marginals.
Keywords
uređaj zavisnosti
vektori rizika
pozitivna zavisnost komponenti
Fréchetove klase
klasa usmjerenih konveksnih funkcija
Keywords (english)
dependence ordering
risk vectors
positive dependence
Fréchet class
class of directionally convex functions
Language croatian URN:NBN urn:nbn:hr:217:916168 Study programme Title: Finance and Business Mathematics Type of resource Text File origin Born digital Access conditions Open access Terms of use Created on 2021-10-28 09:29:39
