| Abstract | In 1978, Mazur proved his famous theorem on possible torsion subgroups of elliptic curves defined over the field of rational numbers [32]. In the 1990s, a similar result was proved by Kamienny, Kenku and Momose [20,26], which says what are the possible torsion subgroups of all elliptic curves over all quadratic fields. However, that result tells us little about possible torsion subgroups if we fix a quadratic field. In Chapter 6, which is based on the author’s paper [47], we describe methods that we can use to determine all possible groups that can appear as torsion subgroups of elliptic curves if we fix a quadratic field. Furthermore, we give the classification of torsion subgroups of elliptic curves over quadratic fields \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\), where \(0 < d < 100\) is squarefree. Those results can be found in Table 6.1. We obtained a complete classification for 49 out of 60 such fields. Over the remaining 11 quadratic fields, we could not rule out the possibility of the group \(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\) appearing as the torsion group of an elliptic curve. Except for the question about determining possible torsion subgroups of elliptic curves over number fields of certain degree, in this thesis we will also be interested in the inverse question, i.e. if we have a given group \(T\) and a positive integer \(d\), what are we able to say about number fields of degree \(d\) over which an elliptic curve with torsion \(T\) appears? We can ask even more, what if instead of a group \(T\) we are given an \(n\)-isogeny? The results of the author's paper in collaboration with Filip Najman [39] give some answers when the torsion \(T \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) is given and \(d = 3\), and when \(d = 2\) with a given \(n\)-isogeny, for \(n \in \{22,23,26,28,29,30,31,33,35,39,40,41,46,47,48,50,59,71 \}\) which correspond to the modular curves \(X_0(n)\) that are hyperelliptic, except for \(n = 37\). Those results are presented in Chapter 7. Specifically, in Theorems 7.1.1 and 7.1.10 some splitting behaviour of small primes in quadratic extensions over which \(X_0(n)\) has a noncuspidal point was presented. Moreover, we were able to prove some results about the splitting of primes in cubic fields generated by points on \(X_1(2,14)\). It turns out that 2 always splits in such fields, and rational primes \(p \equiv \pm 1\) (mod 7) of multiplicative reduction split as well (see Proposition 7.2.7). Bruin and Najman [5] proved that elliptic curves with torsion \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) over cubic fields are actually a base change of elliptic curves over \(\mathbb{Q}\). It is also true that those curves defined over \(\mathbb{Q}\) have multiplicative reduction of type \(I_{14k}\) at 2 (see Proposition 7.2.3) and in Chapter 8, Proposition 8.1.2, it was proved that the reduction is always split multiplicative. In the final chapter, Chapter 8, which will follow the author’s paper [46], we study the Tamagawa numbers of elliptic curves with torsion \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) and of elliptic curves with an \(n\)-isogeny, for \(n \in \{6,8,10,12,14,16,17,18,19,37,43,67,163 \}\) It makes sense to study how the value of the Tamagawa number \(c_E\) of elliptic curve \(E\) depends on \(E(K)_{tors}\), since \(c_E / \#E(K)_{tors}\) appears as a factor in the leading term of the \(L\)-function of \(E/K\) in the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer (see, for example, [16, Conj. F.4.1.6]). Some results on Tamagawa numbers of elliptic curves with a specific torsion subgroup and on the quotient \(c_E / \#E(K)_{tors}\) are given by Lorenzini in [30, Chapter 2] for elliptic curves over the rationals and over quadratic extensions. Krumm [27, Chapter 5] proved some further results on Tamagawa numbers of elliptic curves with prescribed torsion over number fields of degree up to 5. He also conjectured that \(ord_{13}(c_E)\) is even for all elliptic curves defined over quadratic fields with a point of order 13 and the same conjecture was later proved by Najman in [37]. We found in Proposition 8.1.4 that Tamagawa numbers of elliptic curves with torsion \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) are always divisible by \(14^2\), with factors 14 coming from rational primes with split multiplicative reduction of type \(I_{14k}\), one of which is always \(p = 2\) (see Proposition 8.1.2). The only exception is the curve 1922c1, with \(c_E = c_2 = 14\). The question which naturally arises next is how does the Tamagawa number of an elliptic curve depend on the isogenies of that elliptic curve. In Section 8.2 we give a series of propositions which give us first results about Tamagawa numbers of elliptic curves with prescribed isogeny. Tamagawa numbers of elliptic curves with an 18-isogeny must be divisible by 4 (Proposition 8.2.2), while elliptic curves with an \(n\)-isogeny for the remaining \(n\) from the mentioned set must have Tamagawa numbers divisible by 2 (see Propositions 8.2.3, 8.2.4, 8.2.5 and 8.2.6), except for finite sets of specified curves. In Chapters 1-4 we give a short introduction to elliptic curves and we set the stage for studying all of the mentioned properties of curves and number fields. We include chapters about modular curves, elliptic and hyperelliptic curves, as well as a chapter on elliptic curves over local fields. The computations in this thesis were executed in the computer algebra system Magma [2]. The code can be found at https://web.math.pmf.unizg.hr/~atrbovi/cv.html next to the corresponding paper, or in Appendices A, B and C. |
| Abstract (croatian) | Mazur je 1978. godine dokazao svoj poznati teorem o mogućim torzijskim podgrupama eliptičkih krivulja definiranih nad poljem racionalnih brojeva [32]. U 1990-ima, Kamienny, Kenku i Momose [20, 26] su dokazali sličan rezultat koji govori koje su moguće torzijske podgrupe svih eliptičkih krivulja nad svim kvadratnim poljima. No, taj rezultat nam ne govori puno o tome što se događa ako uzmemo neko fiksno kvadratno polje. U Poglavlju 6, koje prati autoričin članak [47], opisujemo metode koje se mogu iskoristiti da bismo odredili sve moguće torzijske grupe eliptičkih krivulja nad nekim fiksnim kvadratnim poljem. Nadalje, dajemo klasifikaciju torzijskih podgrupa eliptičkih krivulja nad kvadratnim poljima \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\), gdje je \(0 < d < 100\) kvadratno slobodan. Ti rezultati se mogu naći u Tablici 6.1. Uspjeli smo dobiti potpunu klasifikaciju nad 49 od 60 takvih polja. Nad ostalim poljima nismo mogli zaključiti je li moguća pojava grupe \(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\) kao torzijske grupe neke eliptičke krivulje. Osim problema o mogućim torzijskim podgrupama eliptičkih krivulja nad poljima algebarskih brojeva određenog stupnja, u ovoj disertaciji će nas zanimati i obratno pitanje, tj. ako imamo zadanu grupu \(T\) i prirodni broj \(d\), što možemo reći o poljima algebarskih brojeva stupnja \(d\) nad kojima postoji neka eliptička krivulja s torzijom \(T\)? Možemo se pitati i više od toga, što ako umjesto grupe \(T\) imamo zadanu \(n\)-izogeniju? Rezultati autoričinog članka u suradnji s Filipom Najmanom [39] daju neke odgovore na ta pitanja kad imamo zadanu torziju \(T \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) i \(d = 3\) te kada imamo \(d = 2\) i zadanu \(n\)-izogeniju, za \(n \in \{22,23,26,28,29,30,31,33,35,39,40,41,46,47,48,50,59,71 \}\), a u skupu se nalaze svi \(n\) osim \(n = 37\) takvi da je pripadna modularna krivulja \(X_0(n)\) hipereliptička. Ti rezultati su predstavljeni u Poglavlju 7. U Teoremima 7.1.1 i 7.1.10 možemo naći neke rezultate o cijepanju malih prostih brojeva u kvadratnim proširenjima nad kojima \(X_0(n)\) ima točku koja nije kusp. Nadalje, bili smo u mogućnosti dokazati i neke rezultate o cijepanju prostih brojeva u kubičnim proširenjima koja su generirana točkama na \(X_1(2,14)\). Može se dokazati da se u takvim poljima 2 uvijek cijepa te da se racionalni prosti brojevi \(p \equiv \pm 1\) (mod 7) multiplikativne redukcije također cijepaju (više u Propoziciji 7.2.7). Bruin i Najman [5] su dokazali da su eliptičke krivulje s torzijom \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) nad kubičnim poljima zapravo definirane nad \(\mathbb{Q}\). Vrijedi i činjenica da te eliptičke krivulje definirane nad \(\mathbb{Q}\) imaju multiplikativnu redukciju tipa \(I_{14k}\) u 2 (više u Propoziciji 7.2.3), a u Poglavlju 8, Propozicija 8.1.2, dokazali smo da je ta redukcija uvijek rascjepiva multiplikativna. U zadnjem poglavlju, Poglavlju 8, koje prati autoričin članak [46], proučavamo Tamagawine brojeve eliptičkih krivulja s torzijom \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) i eliptičkih krivulja s \(n\)-izogenijom, za \(n \in \{6,8,10,12,14,16,17,18,19,37,43,67,163 \}\). Ima smisla proučavati kako vrijednost Tamagawinog broja \(c_E\) eliptičke krivulje \(E\) ovisi o \(E(K)_{tors}\), budući da se \(c_E / \#E(K)_{tors}\) pojavljuje kao faktor u vodećem koeficijentu \(L\)-funkcije od \(E/K\) u slutnji od Bircha i Swinnerton-Dyera (vidjeti npr. [16, Conj. F.4.1.6]). Neke rezultate o Tamagawinim brojevima s određenom torzijskom podgrupom i o kvocijentu \(c_E / \#E(K)_{tors}\) je dao Lorenzini u svom članku [30, Chapter 2], za eliptičke krivulje definirane nad poljem racionalnih brojeva i nad kvadratnim proširenjima. Krumm je u svojoj doktorskoj disertaciji [27, Chapter 5] dokazao još neke rezultate o Tamagawinim brojevima eliptičkih krivulja s određenom torzijom nad poljima algebarskih brojeva stupnja do 5. On je također naslutio da je \(ord_{13}(c_E)\) paran za sve eliptičke krivulje definirane nad kvadratnim poljima s točkom reda 13, a tu slutnju je kasnije dokazao Najman u [37]. U Propoziciji 8.1.4 smo dokazali da Tamagawin broj eliptičkih krivulja s torzijom \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) mora uvijek biti djeljiv s \(14^2\), gdje svaki faktor 14 dolazi od racionalnog prostog broja s multiplikativnom redukcijom tipa \(I_{14k}\), a jedan od tih prostih brojeva je uvijek \(p = 2\) (vidjeti Propoziciju 8.1.2). Jedina iznimka je krivulja 1922c1, za koju je \(c_E = c_2 = 14\). Pitanje koje se sljedeće prirodno postavlja je kako Tamagawin broj eliptičke krivulje ovisi o izogenijama koje ima ta eliptička krivulja. U Poglavlju 8.2 dajemo niz propozicija koje nam daju prve rezultate o Tamagawinim brojevima eliptičkih krivulja s određenom izogenijom. Tamagawini brojevi eliptičkih krivulja s 18-izogenijom moraju biti djeljivi s 4 (Propozicija 8.2.2), dok eliptičke krivulje s \(n\)-izogenijom za preostale \(n\) iz spomenutog skupa imaju Tamagawine brojeve djeljive s 2, osim za konačno mnogo poznatih krivulja. Ti rezultati se nalaze u Propozicijama 8.2.3, 8.2.4, 8.2.5 i 8.2.6. U poglavljima 1-4 dajemo kratak uvod u eliptičke krivulje i osnovne rezultate koje koristimo za proučavanje eliptičkih krivulja i polja algebarskih brojeva. Uključujemo poglavlja o modularnim krivuljama, eliptičkim i hipereliptičkim krivuljama i također o eliptičkim krivuljama nad lokalnim poljima. Izračuni u ovoj disertaciji izvršeni su u računalnom sustavu Magma [2]. Svi kodovi se nalaze na https://web.math.pmf.unizg.hr/~atrbovi/cv.html kraj odgovarajućih članaka ili u Dodacima A, B i C. |
