| Abstract | The Hilbert space of quantum mechanics has a dual representation in lattice theory, called the Hilbert lattice. In addition to offering the potential for new insights, the lattice-theoretical approach may be computationally efficient for certain kinds of quantum mechanics problems, particularly if, in the future, we are able to exploit what may be a “natural” fit with quantum computation. The equations that hold in the Hilbert space lattice representation are not completely known and are poorly understood, although much progress has been made in the last several years. This work contributes to the development of these equations, with special attention to the so-called generalized orthoarguesian equations. Many new results that do not appear in the literature are given, along with their detailed proofs. In addition, possible approaches for work towards answering some remaining open questions are discussed. |
| Abstract (croatian) | Prošireni sažetak. Pozadina. Stanja u kvantnoj mehanici mogu se modelirati kao vektori u Hilbertovom prostoru. Skup zatvorenih podprostora konačno ili beskonačno dimenzionalnog Hilbertova prostora član je klase čestica koje se zovu Hilbertove rešetke (Hilbert lattice, HL). (Rešetka je djelomično uređen skup u kojemu svaka dva člana imaju najmanju gornju i najveću donju granicu. Ovaj i svi drugi ovdje korišteni termini formalno su definirani u disertaciji). Obratno, moguće je izvesti Hilbertov prostor polazeći od HL. Zbog ovog dvostrukog odnosa razumijevanje svojstava HL-a može dovesti do boljeg razumijevanja svojstava Hilbertova prostora. Osim što nudi mogućnost novih uvida, teorijski pristup rešetki može biti računski efikasan za neke vrste kvantno mehaničkih problema, naročito ako, u budućnosti, budemo mogli koristiti ono što bi mogao biti “prirodno” odgovarajući dio za kvantno računanje. Jednadžbe koje u Hilbertovu prostoru podržavaju prikaz rešetke nisu u potpunosti poznate i nedovoljno ih se razumije, premda je tijekom nekoliko posljednjih godina učinjen veliki napredak. Familija svih HL-ova definirna je (aksiomatizirana) skupomuvjeta prvoga reda koji uključuju (egzistencijalne) kvantifikatore. Za određeni broj uvjeta nultog reda odnosno jednadžbi bez kvantifikatora, može se pokazati da vrijede u svakom HL-u. Najočigledniji od njih su jednadžbe koje definiraju bilo koju rešetku (te posebno svaku orto-rešetku), koje su dio skupa aksioma. Godine 1937. Husimi je otkrio ortomodularni zakon (koji je sada takoder dio HL definicije), koji je bio intenzivno obrađen u literaturi o klasi ortomodularnih rešetki (OML), kojih je HL podklasa. Za razliku od uvjeta prvoga reda, jednadžbe nam omogućavaju da direktno baratamo objektima u podprostoru Hilbertova prostora i dobijemo vrstu računske “algebre” za rad s tim objektima. Jednadžbe su posebno prikladne za efikasne računske tehnike. Klasa rešetki definirana samo jednadžbama, kao što je OML, naziva se jednadžbenim varijetetom. Klasa HL-a sama po sebi nije jednadžbeni varijetet (za što je dokaz naveden u disertaciji). Usprkos tome, klasa rešetki koju je generirao (tj. koja zadovoljava) skup jednadžbi koje vrijede u HL-u može se proučavati odvojeno kao superklasa od HL-a i svi rezultati su automatski primjenjivi na HL kao poseban slučaj. Jedan važan neriješen problem je pronaći sve moguće jednadžbene zakone koji vrijede u HL-u. S jačim jednadžbama moguće je proučiti više karakteristika HL-a korištenjem samo jednadžbenih varijeteta. Ovdje je kratki pregled napretka postignutog do sada. Trebalo je nekoliko desetljeća nakon Husimieva OML zakona da se pronade drugi, a to je bio ortoarguesiev zakon kojega je otkrio Alan Day 1975. 1981. g. Godowski je otkrio nezavisnu beskonačnu familiju HL jednadžbi, baziranu na kvantnim probabilističkim stanjima. Te jednadžbe nazivano “Godowski-eve jednadžbe” ili n-Gos. Godine 1986. Mayet je našao algoritam za generiranje većeg skupa jednadžbi (nazvan MGEs), koji je također utemeljen na stanjima, čiji su podskup bile Godowski-eve jednadžbe), premda se na početku nije znalo da li je ikoja od njih nezavisna od n-Go jednadžbi. Od 2006. do 2009., Megill i Pavičić pronašli su nove jednadžbe utemeljene na Mayet-ovu algoritmu za koje se pokazalo da se ne daju izvesti iz Godowski-evih. U 2000. g.Megill i Pavičić otkrili su novu familiju jednadžbi koje vrijede u HL-u—generalizirane ortoarguesieve jednadžbe, nazvane nOA zakoni (n ≥ 3). OA zakon Alan-a Day-a je drugi član ove serije, zakon 4OA, a Greechie/Godowski-eve jednadžbe izvedene iz OA su ekvivalentne prvome članu, zakonu 3OA. Dok je otvoren problem da li se obitelj nOA sastoji od uzastopno jačih jednadžbi, mi smo dokazali (obimnim kompjuterskim traženjem protuprimjera) da su zakoni 3OA, 4OA, 5OA i 6OA uzastopno jači. 2011. g. uspjeli smo dokazati da je zakon 7OA jači od zakona 6OA. Godine 1995. Maria Soler je dokazala da je dodavanjem dva dodatna HL aksioma, moguće iz HL-a izvesti Hilbertov prostor čije je polje jedno od “klasičnih” polja kvantne mehanike (realno, kompleksno ili kvaternionsko). Soler-in teorem upotpunio je dugo neostvareni cilj da se Hilbertov prostor kvantne mehanike izvede iz nekog HL-a pokazujući da su oni dualni. Godine 2006. Mayet je opisao novu obitelj jednadžbi, nazvanu E jednadžbe, utemeljenu na jednom svojstvu Hilbertova prostora koje se naziva vektorski-valuiranim stanjem. Važno je reći da te jednadžbe ne vrijede za svako moguće polje koje se može dovesti u vezu s Hilbertovim prostorom već samo za ona polja s karakteristikom 0, koja uključuju klasična polja kvantne mehanike. To nam daje jednadžbeni uvjet koji je u stvari ovisan o (te ih tako djelomično i opisuje) Soler-inim dodatnim uvjetima (prvoga reda) dodanim HL-u. Ovdje ćemo ukratko sumirati ključne teme pokrivene u disertaciji koje se odnose na traženje novih HL jednadžbi. Ortomodularne rešetke. Veliki broj uvjeta koji vrijede u OML-u prikupljen je u poglavlju 3, za kasniju uporabu. Oni koji se nisu ranije pojavili u literaturi popraćeni su detaljnim dokazima. Određeni broj novih rezultata naveden je za takozvanu Sasaki hook operaciju, koja postaje koristan alat u kasnijim poglavljima. Ortoarguesieve jednadžbe. Poglavlje 4 predstavlja ekstenzivnu studiju generaliziranih ortoarguesievih rešetki (jednadžbeni varijeteti nOA). Prezentiran je revidirani dokaz tih zakona i razmotreni su poznati rezultati neovisnosti (sve do 7OA). Nekoliko sustava označavanja, korisnih u različitim situacijama, uvedeno je kako bi se kompaktno eprezentirale te jednadžbe. Mnoge jednadžbe koje su ekvivalentne i koje su posljedice zakona nOA, koje su gotovo sve nove, izvedene su uz detaljne dokaze. Važan neriješen, otvoren problem je “pretpostavka ortoarguesievog identiteta,” koja propituje da li je uvjet poznat kao zakon ortoarguesievog identiteta ekvivalentan ortoarguesianskom zakonu. Ako ova pretpostavka vrijedi, bila bi moćan alat za dokazivanje teorema. Jedna ekstenzivna studija koja je posljedica ove pretpostavke, jednako kao i drugih pretpostavki koje je impliciraju, predstavlja središnji dio posljednjeg odjeljka poglavlja 3. Ostale jednadžbe Hilbertove rešetke. Poglavlje 5 razmatra druge gore spomenute jednadžbene varijetete. Posebno je predstavljeno 16 novih Mayet-Godowski-evih jednadžbi (MGEs), otkrivenih kao dio ove disertacije. Poglavlje 6 istražuje svojstva superpozicije prvoga reda i modularnu simetriju, od čega niti jedno do sada nije dovelo do nove jednadžbe. Prezentirana je pretpostavljena jednadžba izvedena iz modularne simetrije, ali je otvoreni problem da li njen izvod (počevši od modularne simetrije) vrijedi u svim OML-ovima. Jednadžbe rešetke za konačno dimenzionalne Hilbertove prostore. Konačno dimenzionalni Hilbertovi prostori važni su za mnoge probleme u kvantnoj mehanici, uključujući većinu eksperimenata koji uključuju čestična stanja i većinu pristupa kvantnom računanju. Poglavlje 7 razmatra modularni zakon i Arguesiev zakon koji vrijedi u zatvorenim podprostorima konačno dimenzionalnih Hilbertovih prostora. Izvedena je nova serija Arguesievih zakona višeg reda. Prodiskutirane su moguće primjene Pappusova zakona projektivne geometrije. |
