| Abstract | The main goal of this thesis is to study homogenization of the Kirchhoff-Love model for pure bending of a thin symmetric elastic plate, which is described by the fourth order elliptic equation. Homogenization theory is one of the most successful approaches for dealing with optimal design problems (in conductivity or linearized elasticity), which consists of arranging given materials such that obtained body satisfies some optimality criteria, typically expressed mathematically as the minimization of some (integral) functional under some (PDE) constraints. The key role in homogenization theory has H-convergence. After a brief introduction, in Chapter 1 we prove a number of properties of H-convergence, such as locality, independence of boundary conditions, metrizability of H-topology, convergence of energies and a corrector result. We also discuss smooth dependence of H-limit on a parameter and calculate the H-limit of a periodic sequence of tensors. Moreover, we give special emphasis to calculating the first correction in the small-amplitude homogenization limit of a sequence of periodic tensors. Using this newly developed theory, in Chapter 2 we put our focus on the composite elastic plate. We show the local character of the set of all possible composites, also called the G-closure, and prove that the set of composites obtained by periodic homogenization is dense in that set. Additionally, we derive explicit expressions for elastic coefficients of composite plate obtained by mixing two materials in thin layers (known as laminated material), and for mixing two materials in the low-contrast regime. Moreover, we derive optimal bounds on the effective energy of a composite material, known as Hashin-Shtrikman bounds. In the case of two-phase isotropic materials, explicit optimal Hashin-Shtrikman bounds are calculated. We show that an analogous results can be derived for the complementary energy of a composite material. |
| Abstract (croatian) | Teorija homogenizacije razvijena je za eliptičku jednadžbu drugog reda, a glavni cilj ove disertacije je razvoj teorije homogenizacije za Kirchhoff-Loveovu jednadžbu tanke simetrične elastične ploče, koja je eliptička jednadžba četvrtog reda. Teorija homogenizacije jedan je od najuspješnijih pristupa rješavanju problema optimalnog dizajna (u vodljivosti i lineariziranoj elastičnosti), gdje je cilj odrediti raspored danih materijala (ili samo jednog materijala) u danom univerzalnom skupu. Pri tome se optimalnost rasporeda (distribucije) materijala mjeri funkcionalom koji je obično integralni funkcional koji ovisi o distribuciji materijala, ali i rješenju pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Osnovni pojam teorije homogenizacije predstavlja H-konvergencija. Spagnolo je 1968. godine uveo pojam G-konvergencije za simetrične koeficijente, a zatim su taj pojam generalizirali Tartar 1975. godine, te Murat i Tartar za nesimetrične koeficijente, pod imenom H-konvergencija 1978. godine. Teorija je najprije razvijena za jednadžbu stacionarne difuzije, a kasnije proširena na sustav linearizirane elastičnosti. Postoje i rezultati za eliptičke jednadžbe višeg reda, a također i opsežna literatura od strane ruskih autora koji često koriste termin jaka G-konvergencija. Motivirani mogućim primjenama u optimalnom dizajnu, 1999. godine Antonić i Balenović definirali su H-konvergenciju u kontekstu jednadžbe elastične ploče te su pokazali da vrijedi teorem kompaktnosti. Nakon uvoda, u Poglavlju 1 dokazuju se novi rezultati o svojstvima H-konvergencije promatrane jednadžbe, poput lokalnosti, neovisnosti o rubnim uvjetima, metrizabilnosti H-topologije i konvergencije energija. Izvode se rezultati o korektorima, te se komentira njihova jedinstvenost. Pri izvođenju ovih rezultata, koristi se Tartarova metoda oscilirajućih test funkcija i rezultat kompaktnosti kompenzacijom, čija je varijanta dokazana za jednadžbu elastične ploče. Analizira se glatka ovisnost H-limesa o parametru i računa H-limes periodičkog niza tenzora. Općenito, H-limes je nemoguće eksplicitno izračunati, osim u nekim posebnim slučajevima, među kojima je i proces periodičke homogenizacije. Proučava se i homogenizacija malih amplituda u periodičkom slučaju, čiji je cilj izračunati H-limes niza koeficijenata koji imaju slična elastična svojstva. Koristeći prethodno dokazane rezultate, u Poglavlju 2 poseban naglasak stavljen je na kompozitne materijale, tj. na mješavinu materijala na mikroskali. Ovdje se prirodno pojavljuje problem određivanja skupa svih mogućih mješavina dobivenih postupkom homogenizacije, koji je poznat pod nazivom Problem G-zatvarača. Općenito, za jednadžbu elastične ploče G-zatvarač nije poznat, čak ni za mješavine dvaju izotropnih faza. Pokazuje se lokalni karakter G-zatvarača, te da je skup svih mješavina dobivenih procesom periodičke homogenizacije gust podskup G-zatvarača. Nadalje, izvode se efektivni koeficijenti elastične ploče nastale miješanjem dva materijala u tankim slojevima (ovako proizvedeni materijali nazivaju se lamine), te efektivni koeficijenti ploče napravljene od dva materijala sa sličnim elastičnim svojstvima, odnosno pod pretpostavkom malog kontrasta ili malih amplituda. Izvode se i optimalne ocjene na efektivnu energiju kompozitnog materijala, poznate kao Hashin-Shtrikmanove ocjene. Za primjenu u optimalnom dizajnu potrebno ih je eksplicitno izračunati, kao i odgovarajuće (nizovne) lamine koje ih saturiraju, stoga se u slučaju mješavine dva izotropna materijala, računaju eksplicitne Hashin-Shtrikmanove ocjene. Također, analogni rezultati izvode se i za komplementarnu eneriju kompozitnog materijala. Očekuje se da će dobiveni rezultati utrti put k novim rezultatima vezanim za optimalni dizajn tankih elastičnih ploča. |
