Prsten Gaussovih cijelih brojeva \(\mathbb{Z} [i]\)generalizacija je prstena cijelih brojeva \(\mathbb{Z}\). Kao takvi, Gaussovi cijeli brojevi zadržali su većinu svojstava cijelih brojeva. U \(\mathbb{Z} [i]\) imamo faktorizaciju \( x^2+y^2=(x+yi)(x-yi) \), i=\(\sqrt{-1} \). Kroz svojstva invertibilnosti i dijeljenja iskazuje se i dokazuje modificirani teorem o dijeljenju s ostatkom u \(\mathbb{Z}\) koji nam pomaže u dokazivanju teorema o dijeljenju s ostatkom u \(\mathbb{Z} [i]\). Kroz primjere vidi se upotreba Euklidovog algoritma pri odredivanju najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju Gaussovih cijelih brojeva. Upotrebom Bezoutovog teorema pokazali smo da su \(\alpha, \beta \in \mathbb{Z} [i]\) relativno prosti ako je \(\alpha x + \beta y\) = 1 za neke \(x; y \in \mathbb{Z} [i]\) .Govorili smo o prostim Gaussovim cijelim brojevima. Dokazali smo koristan teorem o prepoznavanju prostih brojeva u \(\mathbb{Z} [i]\) ,koji nam govori da ako je norma Gaussovog cijelog broja prost broj u \(\mathbb{Z}\), da je tada taj Gaussov cijeli broj prost u \(\mathbb{Z}[i]\). Također, pokazali smo da je prikaz Gaussovih cijelih brojeva u obliku produkta prostih Gaussovih cijelih brojeva jedinstven do na permutacije i množenje faktora invertibilnim elementima. Za kraj, govorilo se o primjenama Gaussovih cijelih brojeva. Posebno, pomoću Gaussovih cijelih brojeva dokazali smo neke tvrdnje o prostim brojevima, opisali (primitivne) Pitagorine trojke i proučavali cjelobrojna rješenja jednadžbi \(a^2 + b^2 = c^3\) i \(y^2 + 1 = x^3\).