| Sažetak | U svrhu otkrivanja različitih uloga dokaza, u radu se najprije razmatraju karakteristike
aksiomatske izgradnje matematičke teorije, značenje samog pojma dokaza te načini procesa
zaključivanja i dokazivanja. Zatim se razmatra smisao dokaza u matematici kao znanstvenoj
disciplini te smisao dokaza u matematici kao nastavnom predmetu. Na kraju se ukazuje na
teškoće koje se javljaju u procesu dokazivanja.
U aksiomatskoj izgradnji bilo koje matematičke discipline započinje se odabirom
osnovnih pojmova te formuliranjem osnovnih tvrdnji (aksioma) o tim pojmovima. Na temelju
grupe odabranih osnovnih pojmova i tvrdnji postupno se izvode novi pojmovi koje je potrebno
definirati, kao i nove tvrdnje čiju je istinitost potrebno dokazati. Dokaz podrazumijeva kroz
konačan niz korektnih logičkih zaključivanja, koji se temelje na aksiomima, definicijama ili
ranije dokazanim tvrdnjama i kojima se uz uvažavanje zadane pretpostavke (P) utvrđuje
istinitost postavljenog zaključka (Q). Sam proces dokazivanja može biti direktan ili indirektan.
Matematičarima je dokaz dugo vremena isključivo služio za utvrđivanje istinitosti
određenih tvrdnji, no razvojem matematike kao znanosti pokazalo se da je smisao
matematičkog dokaza puno širi jer dokaz može služiti kao sredstvo provjere ili uvjerenja u
istinitost tvrdnje, objašnjenja istinitosti tvrdnje, otkrivanja i postavljanja novih tvrdnji i
generalizacija, komunikacije, sistematizacije matematičkog znanja itd.
Smisao dokaza u nastavi matematike može se ostvarivati na sličan način kao i u
matematici, ali način provođenja dokaza ovisi o uzrastu učenika i njihovom predznanju te cilju
koji se želi postići. Tako se dokaz u primarnom obrazovanju može provoditi više na intuitivnoj
razini, postavljanjem tvrdnji kroz induktivno zaključivanje te objašnjavanjem i
argumentiranjem jezikom primjerenim toj dobi i znanju učenika. Usvajanjem novih znanja i
razvojem matematičkog jezika tijekom matematičkog obrazovanja intuitivni pristup se
postupno nadograđuje formalnim argumentiranjem i deduktivnim zaključivanjem kroz različite
uloge dokaza sve do formalnog dokaza, što se detaljnije razmatra u poglavlju Smisao
matematičkog dokaza u nastavi matematike.
Neosporno je da kroz proces dokazivanja učenici imaju mogućnost razvijati sposobnost
logičkog razmišljanja, prosuđivanja i zaključivanja što je ujedno i glavna zadaća matematike
kao nastavnog predmeta, a sve u svrhu primjene tih znanja, vještina i umijeća u svakodnevnom
životu i radu. Stoga bi dokaz trebao biti neizostavan i u nastavi matematike. |
| Sažetak (engleski) | In order to reveal the different roles of proof, the paper first considers the characteristics
of the axiomatic construction of a mathematical theory, the meaning of the concept of proof
itself, and the methods of the process of inference and proof. Then, the meaning of proof in
mathematics as a scientific discipline and the meaning of proof in mathematics as a subject are
considered. At the end, the difficulties that arise in the process of proof are pointed out.
The axiomatic construction of any mathematical discipline begins with the selection of
basic concepts and the formulation of basic statements (axioms) about these concepts. Based
on a group of selected basic terms and statements, new terms that need to be defined are
gradually derived, as well as new statements whose truth needs to be proven. Proof implies
through a finite series of correct logical conclusions, which are based on axioms, definitions or
previously proven statements and which, while respecting the given assumption (P), establish
the truth of the set conclusion (Q). The proof process itself can be direct or indirect.
For mathematicians, for a long time, the proof exclusively served to determine the truth
of certain statements, but with the development of mathematics as a science, it turned out that
the meaning of a mathematical proof is much broader, because a proof can serve as a means of
checking or believing in the truth of a statement, explaining the truth of a statement, discovering
and setting new statements and generalization, communication, systematization of
mathematical knowledge, etc.
The meaning of proofs in mathematics lessons can be realized in a similar way as in
mathematics, but the way of carrying out the proofs depends on the age of the students and
their prior knowledge and the goal to be achieved. Thus, proof in primary education can be
implemented more on an intuitive level, by making statements through inductive reasoning and
by explaining and arguing in language appropriate to the age and knowledge of the students.
With the acquisition of new knowledge and the development of mathematical language during
mathematics education, the intuitive approach is gradually upgraded with formal
argumentation and deductive reasoning through different roles of proof up to formal proof,
which is discussed in more detail in the chapter: The meaning of mathematical proof in
mathematics teaching.It is undeniable that through the process of proof, students have the opportunity to
develop the ability to think logically, judge and conclude, which is also the main task of
mathematics as a subject, and all for the purpose of applying these knowledge, skills and
abilities in everyday life and work. Therefore, the proof should be indispensable in the teaching
of mathematics. |
