Uvod U moderno vrijeme težnja za pouzdanim, trajnim i učinkovitim konstrukcijskim komponentama u konstantnom je porastu. S ciljem postizanja što viših stupnjeva učinkovitosti te što nižih troškova proizvodnje nužno je poznavanje specifičnih fizikalnih svojstava modernih inženjerskih materijala, kojih je u današnje vrijeme sve više i više. Korištenjem naprednih tehnologija proizvodnje kao što su 3D printanje i sinteriranje omogućeno je stvaranje heterogenih struktura odgovarajuće geometrije na nano, tj. mikrorazini, koje u konačnici mogu dovesti do povoljnih mehaničkih, toplinskih i električnih svojstava na makrorazini. Mehanička svojstva modernih heterogenih materijala na makrorazini izravna su posljedica međusobne interakcije materijalnih konstituenata na nano, tj. mikrorazini. Višerazinska priroda heterogenih materijala od izuzetne je važnosti i do danas predstavlja veliku prepreku u njihovom numeričkom modeliranju. Klasična mehanika kontinuuma opisuje uprosječeno ponašanje materijala, odnosno ne uzima u obzir pojedinačne doprinose svakog pojedinog mikrokonstituenta koji tvori materijal. Pri pojavi visokolokaliziranih fenomena, kao što su plastičnost i oštećenje, upotreba klasičnih fenomenoloških relacija ne dovodi do kvalitetnih rezultata. Stoga je razvoj točnih i učinkovitih numeričkih postupaka za opisivanje ponašanja heterogenih materijala, koji u obzir uzimaju doprinos od svakog pojedinačnog mikrokonstituenta, u fokusu brojnih znanstvenih istraživanja i projekata. Numeričko modeliranje heterogenih materijala Jedan od brojnih načina numeričkog modeliranja heterogenosti predstavlja upotreba izravnih, tj. direktnih numeričkih simulacija (eng. direct numerical simulation, DNS) pri čemu se heterogena mikrostruktura modelira izravno - bez pojednostavljenja. Ovo predstavlja najprecizniju, ali i ujedno računalno najzahtjevniju metodu modeliranja heterogenih materijala, budući da ukupan broj stupnjeva slobode vrlo brzo može dosegnuti iznimne vrijednosti - prevelike za bilo koje moderno računalo. Poopćena mehanika kontinuuma, poznata i kao teorija gradijenata višeg reda, predstavlja jedan od prikladnijih načina opisivanja mehaničkog ponašanja heterogenih materijala. Proširivanjem tenzora malih deformacija ili tenzora gradijenta deformiranja s gradijentima višeg reda, osigurava se kvalitetno opisivanje nelinearnog i visokolokaliziranog ponašanja kao što je plastičnost ili oštećenje. Na ovaj način, informacije s nižih razina su izravno ugrađene u numerički proračun bez potrebe za analizom same mikrostrukture. U ovom trenutku, dva najveća izazova koja se javljaju prilikom korištenja poopćene mehanike kontinuuma su visoki računalni troškovi te pojava velikog broja materijalnih parametara, čije eksperimentalno određivanje u većini slučajeva nije moguće. S druge strane, višerazinske (eng. multiscale) metode predstavljaju skup numeričkih postupaka s mogućnošću analiziranja mehaničkog ponašanja heterogenog materijala na više razina. Izravna posljedica kod korištenja ovih metoda jest ovisnost između različitih razina, gdje rješenje s jedne razine izravno utječe na rješenja druge razine. Iako postoji značajan broj višerazinskih metoda, one se općenito dijele na konkurentne, sekvencijalne, homogenizacijske, paralelne, hibridne i hijerarhijske. Konkurentne višerazinske metode predstavljaju najpopularniju i najčešće korištenu klasu višerazinskih metoda. Ove metode karakterizira izravna veza između niže razine i odziva materijala na višoj razini, koja se ostvaruje korištenjem procesa homogenizacije. Niža razina je najčešće vezana za mikrostrukturu materijala, dok se viša (makro) razina odnosi na konstrukcijsku komponentu koja se proračunava. Tijekom analize, svojstva materijala kao i njegovo ponašanje u svakoj materijalnoj točki se dobiva izravno iz svojstava i ponašanja njegove mikrostrukture, koja je određena preko reprezentativnog volumenskog elementa (eng. representative volume element, RVE). Nakon rješavanja problema rubnih vrijednosti na mikrorazini, rezultate analize je potrebno homogenizirati, tj. uprosječiti. Uprosječeni rezultati se nakon toga šalju na makrorazinu gdje se upotrebljavaju kao ulazni podaci za rješavanje problema rubnih vrijednosti na makrorazini. Direktna numerička simulacija predstavlja najtočniji i najfleksibilniji način rješavanja problema rubnih vrijednosti na mikrorazini. Metoda konačnih elemenata (MKE) i brza Fourierova transformacija (BFT) su jedni od načina putem kojih je moguće provesti direktnu numeričku simulaciju. Međutim, zbog velikog broja stupnjeva slobode, provođenje konkurentne višerazinske analize za sobom nosi potrebu za značajnim računalnim resursima i dugotrajnim vremenom računanja. Razlog tome jest činjenica da se problem rubnih vrijednosti na mikrorazini mora riješiti za svaku materijalnu točku na makrorazini i za svaki inkrement cjelokupne analize. Budući da je glavni (i osnovni) cilj rješavanja problema rubnih vrijednosti na nižoj razini određivanje prosječnog (homogeniziranog) ponašanja RVEa, dobivanje “finih” (detaljnih) raspodjela polja deformacije i naprezanja nije nužno. S relativno malim brojem stupnjeva slobode na nižoj razini nije moguće na ispravan način opisati raspodjelu polja deformacije i naprezanja, ali je moguće doći do njihovih prosječnih vrijednosti. Zbog toga se pribjegava upotrebi takozvanih reduciranih metoda (eng. reduced-order homogenization methods), koje uz odgovarajući gubitak na točnosti homogeniziranih rezultata osiguravaju značajno smanjenje vremena računanja višerazinskog konkurentnog postupka. Ubrzanje se postiže prvenstveno zbog smanjenja složenosti proračuna na mikrorazini, a danas se u tu svrhu sve češće koriste velike baze podataka. Višerazinsko modeliranje heterogenih materijala putem velikih baza podataka Značajnim rastom računalnih resursa, numeričkom modeliranju mehaničkog ponašanja heterogenih materijala sve češće se pristupa sa stajališta velikih baza podataka. Analizom “sirovih podataka” moguće je doći do prethodno nepoznatih materijalnih zakona i regularnosti, koje se kasnije mogu koristiti za značajno smanjivanje računalne zahtjevnosti konkurentnog višerazinskog postupka. Proces “učenja” i analiziranja “sirovih podataka” se odvija u takozvanom “offline koraku", kojeg je potrebno provesti samo jednom. Do “sirovih podataka” moguće je doći ili eksperimentalnim putem ili upotrebom numeričkih simulacija, a s gledišta njihove upotrebe razlikuju se dva pristupa: makroskopski i mikroskopski. U makroskopskom pristupu, analizom “sirovih podataka” dolazi se do regularnosti koje služe za izravno predviđanje mehaničkog ponašanja heterogenog materijala pri odgovarajućem opterećenju. Točnije, uključivanje makroskopskog pristupa u konkurentnu višerazinsku proceduru znači da se homogenizirana (uprosječena) vrijednost bilo koje veličine može dobiti izravno iz vrijednosti makroskopske deformacije, tj. makroskopskog gradijenta deformiranja. Budući da je rješavanje problema rubnih vrijednosti na mikrorazini u potpunosti isključeno, makroskopski pristup osigurava najviši stupanj računalne učinkovitosti. Iako računalno izuzetno učinkovit i prilagodljiv, makroskopski pristup je uvelike uvjetovan kvalitetom i količinom “sirovih podataka”. Opisivanje i modeliranje visokolokaliziranih fenomena kao što su plastičnost i oštećenje zahtijeva stvaranje ogromnih baza podataka, što u nekim slučajevima nije moguće. Također, zbog manjka informacija s mikrorazine, točnost predviđanja koju makroskopski pristup nudi je često ograničena. To je pogotovo izraženo u prijelaznim slučajevima, tj. trenutcima gdje heterogeni materijal značajno mijenja svoju krutost uslijed akumulacije oštećenja ili prijelaza iz elastičnog u elastoplastično područje. S druge strane, mikroskopski pristup se služi direktnom numeričkom simulacijom kako bi u offline koraku prikupio podatke iz svake materijalne točke razmatrane mikrostrukture (RVEa) koji se zatim koriste za stvaranje velike baze “sirovih podataka”. Analizom tih podataka dolazi se do odgovarajućih regularnosti koje se kasnije koriste za smanjenje složenosti i ubrzavanje računanja problema rubnih vrijednosti na mikrorazini. Budući da rješavanje problema rubnih vrijednosti nije isključeno (kao u makroskopskom pristupu), mikroskopski pristup se nalazi na nižem stupnju računalne učinkovitosti, ali s druge strane nudi veću količinu informacija u odnosu na makroskopski pristup. U neke od najpoznatijih mikroskopskih pristupa spadaju pravilna ortogonalna dekompozicija (eng. proper orthogonal decomposition), analiza putem transformacijskih polja (eng. transformation field analysis), analiza putem neuniformnih transformacijskih polja (eng. nonuniform transformation field analysis) te metoda homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode temeljena na analizi klastera (eng. reduced order homogenization: self-consistent clustering analysis). Metoda homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode Metoda homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode predstavlja jednu od procedura, u području mikroskopskih pristupa, za analizu mehaničkog ponašanja heterogenih materijala. Temeljena je na dvije inovacije: (1) upotreba algoritma strojnog učenja za dekompoziciju RVEa u odgovarajući broj potpodručja, tj. klastera i (2) upotreba Lippmann-Schwingerove jednadžbe za rješavanje problema rubnih vrijednosti na RVEu koji je diskretiziran odgovarajućim brojem klastera. Prva inovacija iskorištava svojstvo k-means algoritma, ili bilo kojeg drugog algoritma za klasteriranje podataka, kako bi se broj stupnjeva slobode (koji su prisutni na mikrorazini) značajno smanjio. Redukcija se postiže grupiranjem točaka (konačnih elemenata u slučaju MKEa) u odgovarajuće materijalne klastere. Pojam “materijalni klaster” označava područje konačnog volumena u kojem je vrijednost bilo koje varijable konstantna. Točnije, svaka varijabla unutar jednog klastera ima isključivo jednu vrijednost. Dekompozicijom složene mikrostrukture u materijalne klastere, broj stupnjeva slobode se može smanjiti i za nekoliko stotina puta. Broj materijalnih klastera kojima se diskretizira mikrostruktura je proizvoljan, s pravilom da ne može biti manji od broja mikrokonstituenata koji tvore mikrostrukturu, niti veći od broja točaka (konačnih elemenata u slučaju MKEa) kojima je inicijalno diskretizirana mikrostruktura. Proces klasteriranja, tj. grupiranja točaka (konačnih elemenata u slučaju MKEa) u odgovarajuće materijalne klastere provodi se u offline koraku, i potrebno ga je izvršiti samo jednom. Dobivena diskretizacija se kasnije može koristiti za bilo koju vrstu opterećivanja kao i za bilo koji konstitutivni materijalni zakon. Druga inovacija je nešto složenija i odnosi se na korištenje Lippmann-Schwingerove jednadžbe s ciljem modeliranja i analize mehaničkog ponašanja svakog pojedinog klastera kao i cjelokupnog RVEa. Iako je inicijalno izvedena za potrebe opisivanja sudara čestica u problemima kvantne mehanike, Lippmann-Schwingerova jednadžba pronašla je svoje mjesto i u području mehanike deformabilnih tijela. Prvi radovi koji razmatraju modifikaciju i primjenu Lippmann-Schwingerove jednadžbe za rješavanje problema heterogenih mikrostruktura pojavili su se početkom 70-ih godina prošlog stoljeća. U njima je jednadžba korištena za dobivanje prosječne (homogene) vrijednosti modula elastičnosti i modula smičnosti odgovarajućeg heterogenog materijala. U slučaju metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode, Lippmann-Schwingerova jednadžba se može smatrati jednadžbom ravnoteže klastera. Usprkos vrlo gruboj diskretizaciji, metoda homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode osigurava visok stupanj točnosti, tj. malu grešku kada se usporede vrijednosti dobivene nekom od numeričkih metoda kao što su MKE i BFT. Osim računalne učinkovitosti, metodu karakterizira i značajna fleksibilnost. Točnije, Lipmann-Schwingerova jednadžba, koja je diskretizirana po klasterima, valjana je za bilo koji konstitutivni zakon u određenom materijalnom klasteru, a također osigurava relativno jednostavan prelazak s malih na velike deformacije. Međutim, visoka razina točnosti nije uvijek zagarantirana, te je ovisna o vrsti opterećenja, ali i samoj materijalnoj kao i geometrijskoj konfiguraciji razmatrane mikrostrukture. Numeričko modeliranje oštećenja i loma Numeričke metode modeliranja oštećenja i loma najčešće se razvijaju u sklopu metode konačnih elemenata, a općenito se mogu podijeliti na diskretne (diskontinuumske) i difuzne (kontinuumske). Ovo je ujedno i osnovna podjela numeričkih metoda za modeliranje oštećenja i loma koja je ustanovljena s gledišta način prikaza i modeliranja pukotina unutar materijala. Diskretne metode pukotinu opisuju kao oštar geometrijski diskontinuitet u polju pomaka. Danas, dvije najpoznatije teorije koje stoje iza diskretnih metoda su linearno elastična mehanika loma (eng. linear elastic fracture mechanics LEFM) i metoda modeliranja kohezivnih zona (eng. cohesive zone modelling CZM). Za razliku od linearno elastične mehanike loma, čija primjena je moguća samo kada je nelinearna zona ispred vrška pukotine zanemarivo mala, metoda modeliranja kohezivnih zona je doživjela značajno veću primjenu. S mogućnošću potpunog isključivanja singularnosti naprezanja ispred vrška pukotine, metoda modeliranja kohezivnih zona našla je svoju primjenu u problemima krhkog i duktilnog loma, pri malim i velikim deformacijama. S gledišta numeričke analize, uvođenje i modeliranje geometrijskih diskontinuiteta predstavlja značajan izazov, pogotovo u slučaju metoda temeljenih na prostornoj diskretizaciji (eng. mesh-based methods) kao što je MKE. Budući da pukotina raste duž rubova elemenata, linearno elastična mehanika loma kao i metoda modeliranja kohezivnih zona podliježu problemima vezanim uz ovisnost rezultata o veličini mreže (eng. mesh dependency), ali i problemima vezanim uz ovisnost rasta pukotine o usmjerenosti konačnih elemenata (eng. bias dependency). S druge strane, odgovarajućim modifikacijama konačnih elemenata, geometrijski diskontinuitet se može pratiti ne po rubu elementa već po samom elementu. Takva modifikacija se naziva obogaćivanje (eng. enrichment), a elementi se samim time nazivaju obogaćeni elementi. Proširena metoda konačnih elemenata (eng. extended finite element method) predstavlja najpoznatiju i najpopularniju metodu ove vrste. U njoj, topologija pukotine je opisana implicitno, pomoću Heavisideovih polinoma i asimptotskih funkcija, što osigurava neovisnost rasta pukotine o mreži konačnih elemenata i time isključuje potrebu za promrežavanjem. Međutim, upotreba proširene metode konačnih elemenata za sobom dovodi do potrebe za visokim računalnim resursima, ali i problema vezanih za numeričku implementaciju. Povrh toga, gore navedene diskretne metode nisu samodostatne, tj. zahtijevaju dodatne kriterije za određivanje trenutka i mjesta nastanka kao i samog rasta pukotina. Za razliku od diskretnih (diskontinuumskih) pristupa, informacije o oštećenju se u kontinuumskim (difuznim) modelima dobivaju kao dio rješenja matričnog sustava jednadžbi. Uvođenjem dodatne varijable koja kontrolira stupanj oštećenja, degradacija naprezanja, koja je povezana s nastankom i rastom pukotine, je izravno uključena u konstitutivni model. Vrijednost varijable oštećenja se kreće između 0 i 1, pri čemu 0 označava neoštećen materijal, dok 1 predstavlja potpuno degradiran materijal koji ne posjeduje krutost. S gledišta načina razvoja oštećenja, kontinuumski modeli oštećenja se mogu podijeliti na izotropne, ortotropne i anizotropne. U izotropnim modelima varijabla oštećenja je skalar, dok je u ortotropnim, tj. anizotropnim modelima ona tenzor višeg reda. Kontinuumski modeli oštećenja, bazirani na lokalnom (standardnom) kontinuumu predstavljaju skup lokalnih kontinuumskih modela oštećenja. U tim modelima, ponašanje materijala u svakoj materijalnoj točki je opisano određenim konstitutivnim zakonom, a varijabla oštećenja ovisi isključivo o deformaciji u promatranoj točki. Točnije, uzimaju se u obzir samo lokalni efekti. To u konačnici uzrokuje lokalizaciju oštećenja koja dovodi do lokalnog gubitka eliptičnosti sustava parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, zbog čega numeričko rješenje ne konvergira ka fizikalno smislenoj vrijednosti. Uz to, lokalni kontinuumski modeli nisu u stanju opisati efekt veličine uzorka (eng. size effect), koji se javlja u eksperimentalnim analizama. Navedeni problemi mogu se riješiti uvođenjem nelokalnih kontinuumskih modela u kojima za razliku od lokalnih kontinuumskih modela, varijabla oštećenja u promatranoj točki ovisi i o deformaciji u točkama koje ju okružuju - nelokalni efekti se uzimaju u obzir. Iako postoji pozamašan broj nelokalnih kontinuumksih modela oštećenja, sve ih karakterizira uvođenje parametra duljine (eng. length parameter). Njime se omogućava regularizacija problema rubnih vrijednosti čime je osigurana eliptičnost parcijalnih diferencijalnih jednadžbi i omogućeno dobivanje objektivnih i fizikalnih rezultata. Također, nelokalni kontinuumski modeli imaju mogućnost opisivanja efekta veličine uzorka, upravo zbog činjenice da prilikom određivanja vrijednosti oštećenja uzimaju u obzir i nelokalne efekte. Jedan od glavnih nedostataka kontinuumskih modela jest nemogućnost opisivanja stvarnog diskontinuiteta, što pukotina u konačnici i jest. Ova činjenica je dovela do razvoja takozvanih kontinuumskih-diskontinuumskih modela u kojima je kontinuumski način opisivanja oštećenja aktivan sve dok se ne pojavi pukotina, koja se kasnije modelira putem diskretnog principa. Povrh toga, upotreba nelokalnih kontinuumskih metoda za opisivanje oštećenja može, pri nekim uvjetima opterećivanja, dovesti do neispravnih rezultata u smislu krive topologije, ali i mjesta nastanka pukotine. Metoda faznog polja Metoda faznog polja (eng. phase-field method) predstavlja općeniti pristup modeliranju fizikalnih sustava s dvije ili više faza koje su razdijeljene nekom vrstom oštrog diskontinuiteta. Ova se metoda temelji na kontinuiranoj varijabli polja koja stvara razliku između fizikalnih faza preko “glatke” i kontinuirane tranzicije. U kontekstu mehanike oštećenja i loma, ova “glatka” tranzicija odnosi se na prijelaz iz neoštećenog u potpuno oštećeni dio materijala i obrnuto. Na taj način, oštar diskontinuitet, kojeg pukotina predstavlja, je zamijenjen kontinuiranom varijablom faznog polja (eng. phase-field variable) koja u suštini tvori difuzni pojas. Ono što ovu metodu čini izuzetno atraktivnom u području numeričkog modeliranja oštećenja i loma jest njena mogućnost da na elegantan i učinkovit način modelira složene procese koji se javljaju pri pojavi i rastu pukotina. Pukotine koje rastu bivaju automatski praćene preko varijable faznog polja koja se izračunava kao dio ukupnog rješenja matričnog sustava jednadžbi. Numerička vrijednost te varijable izravno utječe na razinu oštećenja u difuznom pojasu, čija je širina kontrolirana preko parametra duljine. Budući da metoda faznog polja spada u grupu nelokalnih kontinuumskih metoda, ovisnost konačnih rezultata o veličini mreže konačnih elemenata kao i problem opisivanja efekta veličine uzorka su izbjegnuti. Povrh toga, implementacija metode faznog polja u metodu konačnih elemenata predstavlja relativno jednostavan zadatak, bez obzira radi li se o problemu opisanom u dvije ili tri dimenzije. Formulacija metode faznog polja, koja je prisutna u ovoj disertaciji, potječe od varijacijskog pristupa krhkom lomu gdje je osnovna Griffithova teorija krhkog loma pretvorena u problem minimizacije ukupne potencijalne energije. Unutarnji dio potencijalne energije ukupnog funkcionala se u tom slučaju sastoji od energije unutarnjih sila i energije oslobođene (disipirane) uslijed nastanka i rasta pukotine. Na taj način, varijacija ukupne potencijalne energije dobiva se minimiziranjem funkcionala po dvije varijable - pomaku i samoj pukotini. Varijacijski princip nalaže da se tijelo deformira, a pukotina raste na onaj način koji osigurava minimum ukupne potencijalne energije. Naći analitičko rješenje, tj. odrediti vrijednost pomaka i topologiju diskretne pukotine koji zadovoljavaju princip minimuma ukupne potencijalne energije je moguće samo u ograničenom broju slučajeva. Stoga je, nedugo nakon uvođenja varijacijskog principa krhkog loma, napravljena regularizacija izvedenog funkcionala. Pri tome je korištena eliptična regularizacija problema koji je karakteriziran Mumford-Shah funkcionalom. Posljedica regularizacije bilo je stvaranje sustava eliptičnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje preko varijable faznog polja u potpunosti opisuju nastanak i rast pukotine. Sam izvod metode faznog polja spada u još jednu od njenih pozitivnih karakteristika. Razlog tome jest činjenica da rubni uvjeti i međuovisnost varijabli slijede “prirodno” iz jednog izvoda - što nije slučaj s ostalim nelokalnim kontinuumskim metodama. U zadnjem desetljeću popularnost metode faznog polja je značajno porasla, što potvrđuju brojni radovi na temu krhkog i duktilnog loma, ali i loma pri malim, tj. velikim deformacijama. Nadalje, metoda faznog polja uspješno je primijenjena za opisivanje nastanaka i rasta pukotina uzrokovanim termomehaničkim, elektromehaničkim, ali i hidrauličkim opterećenjem. Uz to, problemi zamora materijala, dinamičkog oštećenja kao i višerazinsko modeliranje heterogenih materijala također su opisani metodom faznog polja. Iako učinkovita i fleksibilna, metoda faznog polja ima odgovarajuće nedostatke i probleme koji se javljaju prilikom njene numeričke implementacije. Trenutno, dva najveća problema su nekonveksnost funkcionala ukupne potencijalne energije te potreba za gustim mrežama u području nastanka i rasta pukotina. Prva poteškoća proizlazi iz činjenice da izvedeni funkcional nije strogo konveksan, već u sebi posjeduje nekoliko ekstrema. Točnije, mala promjena (diferencijal) ukupne potencijalne energije poprima vrijednost 0 u više različitih točaka, što otežava jednostavno određivanje globalnog minimuma. Sa stajališta metode konačnih elemenata to predstavlja veliki nedostatak, budući da nekonveksnost remeti konvergenciju i stabilnost simulacije, a to je pogotovo izraženo prilikom nastanka i rasta pukotine. Drugi problem vezan je za visoke računalne resurse koji proizlaze iz potrebe za vrlo gustim i finim mrežama konačnih elemenata. Veličina konačnog elementa je u izravnoj vezi s vrijednošću parametra duljine koji kontrolira debljinu difuznog sloja, a u problemima u kojima je topologija pukotine unaprijed poznata, ovo ne predstavlja značajan problem. U suprotnom, ovo može uvelike povećati računalne troškove, budući da se unaprijed progušćena mreža ne može jasno odrediti. Višerazinsko modeliranje oštećenja i loma Otpornost materijala na pojavu i razvoj pukotina u velikoj je mjeri uvjetovano njegovom mikrostrukturom. Male promjene oblika, prostorne raspodjele, volumenskog udjela ili mehaničkih svojstava svakog individualnog mikrokonstituenta mogu značajno izmijeniti lomne karakteristike materijala, te ga učiniti više ili manje otpornim na pojavu oštećenja. Prostorna i materijalna konfiguracija mikrostrukture materijala će u konačnici dovesti do nejednolične raspodjele polja deformacije i naprezanja što će u konačnici stvoriti područja pogodna za nastanak i razvoj oštećenja. Višerazinsko modeliranje materijala ima mogućnost povezivanja ponašanja mikrostrukture i odziva materijala na makrorazini, stoga predstavlja vrijedan alat za numeričko modeliranje oštećenja u heterogenim materijalima. Međutim, provođenje konkurentnih višerazinskih analiza koje u sebi uključuju neki od algoritama za modeliranje oštećenja predstavlja velik izazov. Za početak, određivanje prosječne (homogene) vrijednosti parametra oštećenja unutar RVEa nije moguće klasičnom primjenom računalne homogenizacije prvog reda, budući da takav način u konačnici rezultira nefizikalnim vrijednostima. Također, takav pristup ne može odgovoriti na pitanje upitne reprezentativnosti RVEa prilikom pojave oštećenja i loma kao i utjecaja njegove veličine na konačne rezultate. Druga prepreka očituje se u samoj zahtjevnosti sa strane računalnih resursa, budući da konkurentni pristup temeljen na primjeni direktne numeričke simulacije za rješavanje problema rubnih vrijednosti na mikrorazini, i bez algoritma oštećenja zahtjeva značajne računalne resurse. Još jedan problem koji zahtjeva pažnju jest neovisnost konačnih rezultata o veličini i orijentiranosti elemenata na makrorazini - bez obzira da li je u pitanju diskretni ili difuzni model oštećenja. U slučaju korištenja diskretnog pristupa modeliranju oštećenja i loma, potrebno je uvesti odgovarajući algoritam promrežavanja kao i dodatne kriterije za kontrolu razvoja i rasta pukotine. S druge strane, izostanak nelokalne teorije u slučaju difuznog modela oštećenja na makrorazini, rezultirat će ovisnošću konačnih rezultata o veličini mreže konačnih elemenata. Ciljevi i hipoteze istraživanja Cilj ovog istraživanja je razviti i implementirati novi višerazinski postupak za modeliranje oštećenja i loma u duktilnim heterogenim materijalima uslijed statičkog opterećenja. Postupak bi trebao zadovoljiti sljedeće zahtjeve: • povezati svojstva heterogene mikrostrukture sa svakom materijalnom točkom na makrorazini, • osigurati reprezentativnost mikrostrukturnog uzorka, tj. RVEa tijekom pojave i razvoja oštećenja, • osigurati neovisnost konačnih rezultata o veličini i usmjerenosti konačnih elemenata, • postići računalnu učinkovitost, • omogućiti jednostavno proširenje sa problema krhkog loma pri malim deformacijama, na probleme duktilnog loma pri velikim deformacijama. Također, metodologija bi trebala biti općenita i stabilna, tj. u stanju provesti višerazinsku analizu sa složenim mikrostrukturama na nižoj razini, s proizvoljnim brojem mikrokonstituenata različitog oblika, volumenskog udjela, prostorne raspodjele i mehaničkih svojstava. Hipoteza ovog rada je mogućnost razvoja takve metode kombiniranjem metode faznog polja na makrorazini i metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode na mikrorazini. Prisutnost nelokalnog kontinuumskog modela oštećenja, kao što je metoda faznog polja, na makrorazini će osigurati objektivnost i neovisnost konačnih rezultata o mreži konačnih elemenata. Također, implementacija metode faznog polja u numeričku metodu kao što je MKE nije složen postupak, što je također dodatna prednost. Uz to, izostanak algoritma za modeliranje oštećenja na mikrorazini imat će pozitivan učinak na osiguravanje reprezentativnosti RVEa tijekom pojave i razvoja oštećenja. S druge strane, funkcija metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode bit će rješavanje problema rubnih vrijednosti na mikrorazini i određivanje prosječnih (homogeniziranih) materijalnih svojstava mikrostrukture kroz upotrebu računalne homogenizacije prvog reda. Valjanost i primjenjivost metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode za bilo koji konstitutivni zakon od iznimne je važnosti jer pridonosi općoj primjenjivosti cjelokupne višerazinske procedure. U sklopu ovog rada razvijena je višerazinska konkurentna metoda za modeliranje nastanka i razvoja oštećenja u krhkim i duktilnim materijalima, pri statičkom opterećivanju za dvodimenzijske i trodimenzijske probleme. Metoda je ugrađena u komercijalni MKE programski paket Abaqus, primjenom korisničkih rutina UEL i UMAT. Pomoću više različitih geometrijskih uzoraka te nekoliko različitih mikrostruktura, provedena je detaljna i temeljita verifikacija razvijene metode. Velika pozornost posvećena je računalnoj učinkovitosti, stoga je prva faza testiranja orijentirana isključivo na nju. Ostale faze testiranja usmjerene su na ispitivanje stabilnosti i učinkovitosti novorazvijenog višerazinskog postupka u određivanju nastanka i razvoja oštećenja u slučaju složenih mikrostruktura. Zaključak i doprinos rada Glavni doprinosi ovog rada i istraživanja odnose se na područje višerazinskog modeliranja oštećenja u krhkim i duktilnim heterogenim materijalima. Ključni doprinosi rada su: 1. Implementacija algoritma metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode u komercijalni MKE programski paket Abaqus • Algoritam homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode je inicijalno razvijen i testiran u komercijalnom programskom paketu Matlab. Međutim, s ciljem provođenja konkurentnog višerazinskog postupka, algoritam je naknadno implementiran u komercijalni MKE programski paket Abaqus. • Brojni testovi na različitim 2D i 3D mikrostrukturama pokazali su zamjetan nivo računalne učinkovitosti i točnosti što je ključno u višerazinskom postupku. Također je uočeno da pojedine vrste makro-opterećenja, pri određenim materijalnim konfiguracijama na mikrorazini, treba izbjegavati. 2. Spajanje metode faznog polja i metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode u jedan jedinstveni višerazinski postupak • Razvijeni konkurentni višerazinski postupak je dokazano ispravan i računalno učinkovit, što pokazuju testovi provedeni na nekoliko geometrijskih uzoraka pri čemu je razmatran krhki i duktilni lom. • Postupak je također stabilan, što je dokazano ponovo na nekoliko geometrijskih uzoraka pri čemu je na mikrorazini bila prisutna složena mikrostruktura. • U konačnici, postupak je općenit i fleksibilan. Točnije, proširenje na ostale tipove materijala, npr. hiperelastični materijal, i druge modele plastičnosti kao što je Drucker-Prager ili Mohr-Coloumb kriterij tečenja, predstavlja relativno jednostavan postupak.