Tema ovog istraživanja je razvoj numeričke metode za analizu spregnutih dinamičkih sustava. Metoda se razvija u okviru teorije automatskog upravljanja i regulacije. Metoda se implementira numerički korištenjem MATLAB-a i odgovarajućih proširenja (eng. toolbox). Spregnuti dinamički sustavi su sustavi sačinjeni od više međusobno povezanih podsustava s višestrukim ulazima i izlazima. Primjeri ovakvih sustava su, između ostalog, sustavi dobiveni u okviru dinamike sustava više deformabilnih tijela (eng. flexible multi-body dynamics systems), mikro-elektro-mehaničke sustavi (eng. micro-electro-mechanical systems), višeagentni robotski sustavi (eng. multi-agent robotic systems) te raspodjela temperature unutar toplinski vodljivih materijala. Svaki podsustav je prostorno diskretiziran korištenjem metode konačnih elemenata (MKE) koji se može zapisati kao linearni dinamički sustav drugog reda. Ubrzanim povećanjem računalne snage, moguće je vršiti analizu sustava dobivenih pomoću MKE, sa gotovo proizvoljno visokom točnošću, na uštrp dužih vremena simulacije uz modele s jako velikim brojem konačnih elemenata. Za takve sustave, sve je veća potreba za stvaranjem sustava upravljanja i regulacije koji rade efikasno i robustno u realnom vremenu. Moderan pristup ovom problemu je stvaranje vjerne digitalne replike stvarnog sustava, tzv. digitalni blizanac (eng. digital twin) koji zahtjeva da se sustav modelira na fleksibilan način kako bi se dinamika sustava, po potrebi, mogla relativno jednostavno prilagoditi promjenama na stvarnom modelu. Za linearne vremenski invarijatne sustave prvog reda razvijeni su mnogi korisni alati za sintezu sustava upravljanja i regulacije, stoga se takvi modeli najčešće koriste u okviru modernog upravljanja. Pri pretvorbi prostorno diskretiziranih sustava u sustave u prostoru stanja, najveći nedostatak je izrazito veliki broj stanja (reda modela) rezultirajućeg sustava, koji lako naraste do desetaka tisuća ili više. S tako velikim brojem stanja, nemoguće je ili nepraktično pristupiti modeliranju, analizi i sintezi u okviru automatskog upravljanja i regulacije. Iz tog razloga, gotovo neizostavno, koriste se metode redukcije reda modela (RRM). Zbog velike potrebe za RRM, ovo znanstveno područje gotovo je neiscrpno i popraćeno je stalnim i intenzivnim razvojem novih metoda RRM. Ovdje je bitno za naglasiti sljedeće, iako su modeli u prostoru stanja najzastupljeniji u teoriji upravljanja, također se intenzivno razvijaju i metode upravljanja za sustave koji nisu zapisani u prostoru stanja. Tu je veliki naglasak stavljen na linearne sustave drugog reda - jer takvi sustavi se direktno dobivaju rješavanjem mnogih fizikalnih problema (kao što je i slučaj sa mehaničkim sustavima koji su prostorno diskretizirani). Ovakva potreba nastala je uz činjenicu da se, između ostalog, nastoje očuvati posebne značajke i struktura podsustava, koji se obično djelomično ili potpuno gube prilikom pretvorbe u sustav prvog reda. Očuvanjem strukture podsustava moguće je dobiti izrazito točne modele niskog reda, pa je ta činjenica popraćena i razvojem RRM za sustave drugog reda. Iako još ne postoji razvijeno robusno sučelje za analizu i sintezu linearnih sustava drugog reda, valja uočiti kako je nedugo (u 2021.), u programskom paketu MATLAB uvedena sveobuhvatna podrška za modeliranje linearnih (mehaničkih) sustava drugog reda. Za modele drugog reda, da se pokazati da su matrice potrebne za opis linearne dinamike izrazito rijetke (eng. sparse), pa se dinamički sustavi vrlo visokog reda u teoriji mogu analizirati efikasno, čak i bez primjene redukcije reda modela. Sve su ovo pokazatelji koji ukazuju na značaj linearnih modela drugog reda, ali i očuvanje strukture modela. Također je interesantno za uočiti da se mijenja trenutna paradigma razmatranja dinami čkih sustava, a to je modeliranje sustava kao tzv. crne kutije (eng. black-box). Pri ovakvom pristupu, fizikalni (ali i ostali dinamički) sustavi, modeliraju se kao procesor informacija (eng. signal processor). Klasična iterpretacija ulaz-izlaz (eng. input-output) dinamičkih sustava, koja je započela s uvođenjem prijenosnih funkcija (eng. transfer function), polako se odbacuje za modeliranje fizikalnih sustava. Uz ulazstanje- izlaz (eng. input-state-output) interpretaciju koja je trenutno najzastupljenija i koju je uveo R. E. Kálman u šezdesetim godinama prošlog stoleja, u zadnjih tridesetak godina, razvijaju se i drugi pristupi modeliranju dinamičkih sustava. Izrazito je obe- ćavajuće razmatranje ponašanja (eng. behavioral approach, u nastavku behavioralni pristup) dinamičkog sustava, temeljen na približavanju, raščlanjivanju i spajanju (eng. zooming, tearing and linking) koje je, paralelno sa opisom disipativnih dinamičkih sustava, uveo J. C. Willems. Ova dva koncepta predstavljaju polaznu točku za razvoj novih metoda u svim fazama izučavanja dinamičkih sustava - matematičkom (i numeri čkom) modeliranju, analizi i sintezi. Utjecaj koji je Willems sa svojim istraživanjem ostavio na cijelu zajednicu "kontrolaša" (eng. control engineers) biti će uskoro prikazan. Razvojem dvaju spomenutih principa, razvio se i tzv. port-Hamiltonijanski (eng. port- Hamiltonian) način izučavanja i modeliranja fizikalnih dinamičkih sustava. Kod ovog pristupa, dinamički sustav razmatra se kao sustav otvorenog tipa u kojem se preko portova (eng. port) u dinamički sustav uvodi energija koja se jednim dijelom gubi (disipira) van granica sustava, a preostalim dijelom unutar sustava pretvara u druge oblike energije. Pri čemu se, slično kao i kod behavioralnog pristupa, ne proučava izmjena informacija (odnosno signala) među spregnutim sustavima, nego izmjena energije - što svakako ima jasniju intepretaciju, ali i praktičniju primjenu za fizikalne sustave. Svi ovi navedeni pristupi omogućavaju bolji uvid u dinamiku fizikalnih sustava jer se temelje na osnovnim zakonitostima fizike i prvim principima (eng. first principles). Uz ovo treba spomenuti još i modeliranje dinamičkih sustava korištenjem računalnog učenja (eng. machine learning) i neuro-neizrazitih-genetskih (eng. neurofuzzy- genetic) sustava, koji predstavljaju najmoderniji pristup modeliranju, analizi i sintezi, međutim više su orijentirani ka izrazito nelinearnim dinamičkim problemima. Za prethodno navede pristupe, koji su argumentativno u mnogim slučajevima bolji za modeliranje fizikalnih spregnutih dinamičkih sustava od modela opisanim prostorom stanja, metode upravljanja za takve matematičke modele tek dostižu razinu praktične primjenjivosti. Od navedenih metoda i pristupa, fokus ove disertacije zadržan je na behavioralnom pristupu i teoriji disipativnosti te do neke mjere na korištenju linearnih sustava drugog reda i popratnim metodama koje se mogu povezati sa trenutno dostupnim metodama u okviru teorije upravljanja. Behavioralni pristup u samoj svojoj definiciji (kroz korake raščlanjivanja i povezivanja) sadrži očuvanje strukture sustava. Važnost očuvanja strukture sustava vidljiv je i kroz značajan interes znanstvenika u posljednih dvadesetak godina. Treba napomenuti kako se očuvanje strukture kroz literaturu najčešće odnosi ili na strukturu unutar podsustava (u nastavku lokalno očuvanje strukture) ili na strukturu unutar spregnutog sustava (globalno očuvanje strukture). Behavioralni pristup koji je postavio Willems naglašava važnost očuvanja strukture prilikom modeliranja. Međutim, u okviru teorije upravljanja, zanimljivo je za uočiti kako, uz najbolje autorovo znanje, nije izučavan sveobuhvatni pristup očuvanja strukture - i lokalne i globalne strukture istovremeno. Stoga autor ovom prilikom uvodi pojam višeskalnog očuvanja strukture (eng. multi-scale structure preservation) za spregnute dinamičke sustave. O značaju temeljnih principa teorije disipativnosti koje je postavio Willems 1972., prije točno pedeset godina od danas, govori i činjenica da su upravo u sklopu tog važnog događaja, izdana dva opsežna broja (2 i 3), u svesku 42, od strane IEEE. Svezak 42 i brojevi 2 i 3 su dio IEEE Control Systems (Magazine), a nose naziv 50 Years of Dissipativity, Part I (Part II). Autori koji su sudjelovali u izradi navedenih brojeva, također su doprinjeli razvoju mnogih grana teorije upravljanja upravo korištenjem spomenute teorije disipativnosti. Kao istaknute autore, među ostalima, treba navesti C. W. Scherera, S. Weilenda, M. Arcaka, L. Grünea, B. Brogliatoa, T. H. Hughesa i R. Patesa, na čijim radovima počiva dobar dio ove disertacije. Osim navedenih znanstvenika, autor bi još izdvojio i A. Megretskog koji je u devedesetima izdao članak (također usko vezan za teoriju disipativnosti) vezan za teoriju integralnih kvadratnih ograničenja (IKO) i time postavio temelje za analitički pristup analizi nesigurnih sustava. IKO omogućavaju razmatranje nesigurnosti odvojeno od nominalnog sustava. IKO defini rana su nejednakostima koja se koriste za opisivanje (parcijalno) mogućih kombinacija signala unutar nekog dinamičkog sustava u zatvorenom krugu. Iako IKO predstavljaju izrazito koristan alat u dokazivanju teorema, glavni značaj imaju pri izvođenju algoritama temeljenih na konveksnoj optimizaciji koji se koriste za traženje dozvoljenih rješenja (kandidata) kojima se potvrđuje i dokazuje stabilnost i robusnost nesigurnih dinamičkih sustava. Osim ovog recentnog događaja, veliku važnost teorije disipativnosti pokazuje i veliki projekt Njemačke Znanstvene Institucije (njem. Deutsche Forschungsgemeinschaft, DFG) pod nazivom Calm, Smooth and Smart - Novel Approaches for Influencing Vibrations by Means of Deliberately Introduced Dissipation, koji je započeo 2016., a pod okriljem kojega se odvijaju desetci (uz desetke već završenih) projekata vezanih za dissipativnost općenitno, ali i mnogi s naglaskom na primjeni u teoriji upravljanja i usmjereni upravo na mehaničke sustave. Među takvim projektiva valja izdvojiti projekt, koji je u trenutku pisanja rada još uvijek aktivan, a kojeg vodi P. Benner, pod nazivom Structure-Preserving Model Reduction for Dissipative Mechanical Systems. U okviro tog projekta izdan je veliki broj članaka i razvijen veliki broj algoritama vezanih za redukciju reda modela. Kako je vidljivo i iz samog naziva projekta, fokus je na disipativnim sustavima. U okviru projekta, također je razvijen i alat za programski paket MATLAB pod nazivom MORLab koji je izdašno korištem u ovoj disertaciji pri izvođenu numeričkih eksperimenata. Kako je vidljivo iz dosadašnjeg pregleda, ova disertacija bavi će se sljedećim podru- čjima: – Metodama prostorne diskretizacije (prvenstveno metoda konačnih elemenata) i teorijom sustava za numeričko modeliranje spregnutih dinamičkih sustava. – Metodama redukcije reda modela (prvenstveno metode bazirane na redukciji reda modela u prostoru stanja, s naglaskom na metode očuvanja posebnih svojstava sustava, kao što su stabilnost, disipativnost i pasivnost, te metode reduckije očuvanja strukture sustava) u svrhu dobivanja podobnih modela nižeg reda. – Modeliranjem greške koja nastaje uslijed prostorne diskretiacije i/ili redukcije reda modela (u okviru teorije robusnog upravljanja uz provođenje analize robustnosti nesigurnih sustava korištenjem integralnih kvadratnih ograničenja i strukturirane singularne vrijednosti). Prostorna diskretizacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju dinamiku sustava, provoditi će se isključivo metodom konačnih elemenata. Valja napomenuti da se i druge metode diskretizacije kao što je metoda konačnih volumena (eng. Finite volume method) i metoda konačnih razlika (eng. finite difference method), također mogu uklopiti u okviru predloženih metoda. Hipoteze istraživanja Hipoteze istraživanja su: 1. Mehanički dinamički sustavi opisani parcijalnim diferencijalnim jednadžbama mogu se modelirati kao niz međusobno povezanih linearnih vremenskiinvarijantnih podsustava s nesigurnostima, te je takvim modelom moguće dovoljno točno opisati dinamičko ponašanje ključno za sintezu učinkovitog sustava upravljanja. 2. Moguće je iskoristiti činjenicu da su podsustavi spregnuti da bi se dobilo bolji model nesigurnosti, te time dodatno povećati učinkovitost sustava upravljanja. Ciljevi istraživanja Glavni cilj ovog istraživanja je razviti numeričku metodu za ocjenu točnosti i greške prostorne diskretizacije spregnutih dinamičkih sustava. Uz lokalnu grešku diskretizacije dodatno se uzima u obzir i točnost spregnutog dinamičkog sustava, te se tako dobiva poboljšani model nesigurnosti za spregnute dinamičke sustave. Očekivani cilj, stoga je i unaprijeđenje učinkovitost sustava robustnog upravljanja spregnutih dinamičkih sustava. I. Matematički model spregnutog dinamičkog sustava Matematičko modeliranje provodi se u okviru teorije sustava i upravljanja. Razmatrani dinamički sustavi diskretizirani metodom konačnih elemenata, rezultiraju linearnim sustavima drugog reda. Dobiveni linearni sustavi drugog reda pretvaraju se u linearne vremenski-invarijantne sustave prvog reda. Za linearne vremenski-invarijatne sustave prvog reda dostupan je velik broj robusnih alata za modeliranje, analizu i sintezu. U okviru ovoga doktorata izdašno se koriste metode redukcije reda modela. Metoda koja predstavlja temelj u razvijenom algoritmu je metoda uravnoteženog skraćivanja (eng. balanced truncation method), stoga je toj metodi posvećena posebna pažnja. Diskretizirani i reducirani modeli povezuju se pomoću algebarskih izraza, pri čemu se zadržava struktura modela. Uz ovako očuvanu strukturu spregnutog sustava, može se pristupiti modeliranju i mijenjanju svakog od podsustava, koje se nakon modeliranja ponovno spaja spregnutom sustavu. Ovakav pristup daje dodatnu slobodu kod modeliranja pri čemu se svaki od podsustava može modelirati na način da zadovoljava lokalne zahtjeve, ali i globalne. II. Analiza robusnosti spregnutog disipativnog dinamičkog sustava Za opisivanje greške diskretizacije i greške redukcije reda modela korišteni su alati iz područja robusnog upravljanja. Netočnost u dinamičkom odzivu i trajektoriji reduciranog sustava u odnosu na nereducirani sustav visokog reda, može se modelirati kao nestrukturirana nesigurnost. U ovom radu korištene su aditivna i multiplikativna nesigurnost. Uz očuvanu globalnu strukturu sustava, moguće je korištenjem linearne frakcijske transformacije (eng. linear fractional transformation) izdvojiti nesigurnosti svih podsustava i na taj način dobiti jednu, blok dijagonalnu nesigurnu matricu, koja je u povratnoj vezi povezana sa preostalim nominalnim dijelom nesigurnog spregnutog sustava. Za takav sustav, moguće je korištenjem integralnih kvadratnih ograničenja (IKO) i/ili strukturirane singularne vrijednosti (SSV) pristupiti analizi robustnosti. Osim navedenih nesigurnosti koje nastaju uslijed diskretizacije i redukcije reda modela, moguće je istovremeno vršiti analizu robustnosti uslijed drugih tipova nesigurnosti. Za mehaničke sustave to su najčešće parametarske nesigurnosti i određeni tipovi nelinearnosti. III. Numerička analiza, numerički eksperimenti i zaključak Uz prethodno navedene metode, moguće je iskoristiti strukturu sustava kako bi se, osim modelirala nesigurnost za svaki podsustav, također i smanjila njena konzervativnost na nivou podsustava. Konzervativnost nesigurnog modela ima za posljedicu smanjenje performansi robusnog sustava upravljanja. Smanjenje konzervativnosti provodi se na način da se u obzir uzimaju okolni sustavi. Pri tome se koriste saznanja iz teorije disipativnosti kako bi se odbacio dio nesigurnosti koji se zbog same disipativnosti u spregnutom sustavu prigušuje. Predložena numerička metoda provedena je na nizu numeričkih primjera. Primjeri su takvi u kojima se disipativnost manifestira kroz modalno Rayleighevo prigušenje unutar samih diskretiziranih podsustava i kroz prigušne elemente koji spajaju podsustave odnosno Analiza robustnosti potvrđena je korištenjem poznate i u literaturi dostupne metode temeljenje na strukturiranim singularnim vrijednostima (eng. structured singular values), odnosno tzv. m-analize, ali i modernijom i sofisticiranijom metodom integralnih kvadratnih ograničenja. Integralnim kvadratnim ograničenjima efikasno se rješavaju i problemi pod utjecajem više vrsta nesigurnosti (eng. mixed uncertainties). Gotovo svi problemi postavljeni na temeljima integralnih kvadratnih ograničenja u konačnici se mogu formulirati kao sustav linearnih matričnih nejednadžbi (eng. linear matrix inequalities), odnosno problem postaje konveksni optimizacijski problem (eng. convex optimization problem). Ovo daje veliku prednost integralnim kvadratnim ograničenjima u analizi robusnosti, jer osim što postoji veliki niz razvijenih i praktičnih alata za rješavanje takve klase problema, dobivena rješenja garantiraju robusnu stabilnost i željenje robusne perofrmanse rezultirajućeg nesigurnog modela niskog reda koji je dobiven spajanjem velikog broja prostorno diskretiziranih podsustava niskog reda. Ostvareni znanstveni doprinosi Na osnovu prikazanih numeričkih rezultata, diskusije i zaključaka, potvrđene su i prethodno postavljene hipoteze istraživanja. Osim potvrđenih hipoteza, iz ove doktorske disertacije proizašli su i sljedec´i znanstveni doprinosi: – Razvijen je originalni koncept modeliranja dinamičkih sustava s očuvanjem strukture na više razina, koji osigurava očuvanje strukture modela dinamičkog sustava na globalnoj razini te na razini podsustava. – Pokazano je kako se greške modeliranja sustava koje su posljedica prostorne diskretizacije i posljedica redukcije reda modela mogu učinkovito modelirati kao nestrukturirane linearne vremenski-invarijantne dinamičke nesigurnosti. – Pokazano je kako se konzervatizam u modeliranju greške na nivou podsustava može učinkovito smanjiti za posebnu klasu spregnutih disipativnih dinamičkih sustava. – Pokazano je kako se očuvanje strukture modela dinamičkog sustava može učinkovito iskoristiti u analizi i modeliranju (nesigurnog) dinamičkog sustava koji se nalazi u sprezi s disipativnim sustavom ili sustavima koji predstavljaju njegovu okolinu. – Razvijena je metoda sustavnog modeliranja nesigurnosti i redukcije reda modela na razini podsustava koja omogućava slobodu modeliranja i manju konzervativnost modela nesigurnosti na nivou podsustava.