| Sažetak | This thesis is devoted to the study of physical problems in Gauge Theory and Gravity, within the mathematical framework of Graded Geometry. The main advantage of this framework is that it can be used to describe mixed-symmetry tensor fields of any type in a very general and universal way. As such, it is ideal for exploiting similarities and formal analogies between Gauge Theories and Gravity, as well as for putting the latter on equal footing and for studying them in parallel. After reviewing some basic notions in Z2-graded geometry, we show how mixed-symmetry tensor fields can be alternatively described as functions on a graded manifold. Subsequently, we define a differential calculus and an integration theory on this graded manifold. Finally, we use this machinery to construct gauge invariant Lagrangians for physical theories in any number of spacetime dimensions, involving gauge fields in arbitrary mixed-symmetry tensor representations of the general linear group. These include kinetic, mass and Galileon interaction terms. Subsequently, we present an overview of the Hodge dualities present in two of the most fundamental theories of Nature; Electromagnetism and General Relativity (in its linearized limit). In both cases, we review the concept of duality from the on-shell level of the field equation to its off-shell implementation through a first-order parent Lagrangian. On top of that, we extensively discuss the effects induced by a topological ϑ-term in these Hodge dualities. As a key result, we present a general graded geometric parent Lagrangian encoding all types of Hodge dualities involving any bipartite mixed-symmetry tensor gauge field. This Lagrangian gets further generalized to account for dualities between theories involving multiple gauge fields, in self-dual dimensions. We find that there exist two distinct possibilities for the underlying duality group, depending solely on the type of the dualized gauge field. Finally, we introduce more formally the gravitational ϑ-term that we used extensively in the dualization discussions and trace its nonlinear origin. We conclude the thesis by mentioning two physical effects induced by this topological term, illustrated through two simple examples. |
| Sažetak (engleski) | Ovaj rad posvećen je proučavanju fizičkih problema u baždarnoj teoriji i gravitaciji, koristeći matematičke metode gradirane geometrije. Glavna prednost tog pristupa je u tome što se može koristiti za opisivanje tenzorskih polja mješovite simetrije i bilo kojeg tipa na vrlo općenit i univerzalan način. Kao takav, idealan je za iskorištavanje sličnosti i formalnih analogija između baždarnih teorija i gravitacije, kao i za stavljanje potonjih u ravnopravni položaj, te za njihovo usporedno proučavanje. U poglavlju 2 uvodimo neke osnovne pojmove u gradiranoj geometriji s fokusom na Z2-gradiranu ili supergeometriju. Pokazujemo kako se tenzorska polja mješovite simetrije i proizvoljnog tipa na glatkoj mnogostrukosti M mogu opisati na alternativan način, pomoću posebnih izomorfizama između mnogostrukosti M i gradirane (super) mnogostrukosti M. Zatim definiramo diferencijalni račun i teoriju integracije na toj gradiranoj mnogostrukosti. Konačno, koristeći upravo definirane osnovne alate gradirane geometrije, konstruiramo baždarno invarijantne lagranžijane za fizičke teorije u bilo kojem broju prostorno vremenskih dimenzija, uključujući baždarna polja u proizvoljnoj reprezentaciji opće linearne grupe tenzorom mješovite simetrije. Tu spadaju kinetički, maseni i galilejevski interakcijski članovi. Naši rezultati pokazuju da svi ti lagranžijani imaju isti, jednostavni, geometrijski oblik, bez obzira na vrstu baždarnog polja. Kao dodatni rezultat naše analize, također dobivamo snažne dokaze koji potkrepljuju tvrdnju da se baždarno invarijantne i lokalne galilejevske interakcije ne mogu konstruirati za baždarna polja višeg spina. U poglavljima 3 & 4 donosimo pregled Hodgeovih dualnosti prisutnih u dvjema temeljnima teorijama prirode, elektromagnetizmu i općoj relativnosti u njezinom lineariziranom limesu. U oba slučaja dajemo prikaz koncepta dualnosti od razine jednadžbe polja do implementacije dualnosti kroz roditeljski (engl. parent) lagranžijan prvog reda. Povrh toga, opširno raspravljamo o učincima induciranim topološkim članom u tim Hodgeovim dualnostima. U slučaju elektromagnetizma, za ovaj član uzima se standardni ϑ-član koji je formiran kao skalarni produkt električnog i magnetskog polja. Za lineariziranu gravitaciju, uzimamo u obzir gravitacijski analog tog topološkog člana, formiran kao skalarni produkt gravitoelektricnog (njutnovskog) i gravitomagnetskog polja. Oba ova topološka člana postoje samo u četiri prostornovremenske dimenzije, a to su dimenzije s kojima radimo u ovim poglavljima. Što se tiče samih Hodgeovih dualnosti, klasificiramo ih koristeći standardnu terminologiju koja se pojavljuje u literaturi. Posebni slučajevi uključuju električno-magnetsku, egzotičnu i dvostruku dualnost. I električno-magnetska i egzotična dualnost Maxwellovog polja opisane su u poglavlju 3, dok se poglavlje 4 bavi električno-magnetskim i dvostrukim dualnostima lineariziranog gravitona. U tim poglavljima također se usredotočujemo na identificiranje analogija i sličnosti postupaka dualizacije i regulirajućih formula između elektromagnetizma i linearizirane gravitacije. A posteriori, naši rezultati vode na zaključak da bi se ove dvije naizgled različite analize mogle provesti na općenitiji način. Ovaj zaključak vodi do razmatranja u poglavlju 5, gdje predstavljamo općeniti gradirani geometrijski roditeljski lagranžijan koji uključuje sve tipove Hodgeovih dualnosti koje ukljucuju bilo koje tenzorsko baždarno polje miješane simetrije tipa (p, 1). To se postiže uvođenjem dva parametra u lagranžijan, koji mogu poprimiti vrijednosti u četiri određene domene. Svaka od tih domena odgovara drugoj vrsti Hodgeovih dualnosti i, kao takav, roditeljski lagranžijan ima unificirajuću prirodu. Tehnički, ove su izjave formulirane kroz dva teorema, a oba dokazujemo rigorozno. Naši se konačni rezultati podudaraju s onima iz prethodnih poglavlja za određene vrijednosti dvaju parametara, obuhvaćaju sve poznate rezultate u literaturi i, nadalje, protežu se na prije toga nepoznate slučajeve. U poglavlju 6 dalje poopćujemo našu analizu kako bismo uključili dualnost između teorija koje uključuju više baždarnih polja, u samodualnim dimenzijama. Polazeći od primjera više skalarnih polja u dvije dimenzije, izvodimo postupak dualizacije i dobivamo poznata Buscherova pravila. Ona odgovaraju transformacijama pozadinskih polja generiranih s T-dualnošću u okviru teorije struna. Kao nastavak, provodimo isti postupak za slučaj više Abelovih 1-formi (Maxwellova polja) u četiri dimenzije i dobivamo odgovarajuća "viša" Buscherova pravila za pozadinska polja. Motivirani vezom T-dualnosti i sigma modela za strune, također komentiramo nelinearni sigma model za potonji slucaj Maxwellovih polja. Koristeći poopcćenje univerzalnog roditeljskog lagranžijana predstavljenu u poglavlju 5, također razrađujemo slučaj više lineariziranih gravitona u četiri dimenzije. Naši rezultati ukazuju da postoje samo dvije vrste pravila transformacija. Za baždarna polja koja su diferencijalne p-forme i za bipartitne tenzore tipa (p, 1) nalazimo da je osnovna grupa dualnosti ortogonalna grupa O(d, d; R) za parne p i simplektička grupa Sp(2d; R) za neparne p. Konačno, poglavlje 7 posvećeno je gravitacijskom ϑ-članu, koji je analiziran u prethodnim poglavljima. Uvodimo ovaj član u okviru gravitoelektromagnetizma, alternativnog (ekvivalentnog) opisa linearizirane gravitacije. Koristeci pseudoskalarno pozadinsko polje ϑ(x) kao njegovu konstantu vezanja, ϑ-član je tada topološki član, kvadratičan u parcijalnim derivacijama lineariziranog gravitona. Koristeći to jednostavno zapažanje, pokazujemo da opća relativnost ne može opisati nelinearnu verziju tog člana; umjesto toga, povezan je s topološkom invarijantom, kvadratičnom u torzijskoj 2-formi. Kao takav, može se opisati alternativnim teorijama nelinearne gravitacije koje se temelje na koneksijama s torzijom. Ovo poglavlje zaključujemo predstavljanjem dvaju jednostavnih primjera koji ilustriraju učinak ϑ-člana u fizičkim situacijama. U prvom primjeru opisujemo kako Newtonov zakon poprima relativističku korekciju zbog raspodjela neiščezavajućih ϑ u prostoru. U drugom primjeru predstavljamo gravitacijski analogWittenovog efekta, koji kaže da cisto gravitomagnetski naboj (gravitipole) poprima masu i postaje gravitacijski dion, kada je postavljen u podrucje prostora s neišcezavajucom ϑ(x). Disertaciju završavamo zaključkom. |
