Naslov p-adski brojevi i p-adska interpolacija Riemannove zeta funkcije
Naslov (engleski) p-ad numbers and p-ad interpolation of the Riemann zeta function
Autor Vanesa Babok
Mentor Marcela Hanzer (mentor)
Član povjerenstva Marcela Hanzer (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstva Maja Resman (član povjerenstva)
Član povjerenstva Miljenko Huzak (član povjerenstva)
Član povjerenstva Filip Najman (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet (Matematički odsjek) Zagreb
Datum i država obrane 2022-03-03, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana PRIRODNE ZNANOSTI Matematika
Sažetak Ovaj se diplomski rad bavi \(p\)-adskim brojevima i pruža svojevrstan uvod u \(p\)-adsku analizu. Cilj mu je definirati polje p-adskih brojeva \(\mathbb{Q}_p\) te postaviti temelje za usustavljivanje \(p\)-adskog analogona skupa kompleksnih brojeva \(\mathbb{C}\). Rad je podijeljen u tri poglavlja. Prvom poglavlje započinjemo prisjećanjem na pojmove polja, metrike, norme i metričkih prostora. Zatim uvodimo novu vrstu udaljenosti kojom ćemo se baviti kroz ostatak rada - \(p\)-adsku udaljenost. Također razlikujemo norme s obzirom na to jesu li arhimedske ili nearhimedske. Definiramo ekvivalentne norme i metrike i dokazujemo razna njihova svojstva te spominjemo teorem Ostrowskog. Potom se prisjećamo konstrukcije kompleksnih brojeva te na sličan način konstruiramo polje \(p\)-adskih brojeva \(\mathbb{Q}_p\). U ostatku poglavlja proučavamo njegovu aritmetiku i dokazujemo važnu Henselovu lemu. U drugom poglavlju proučavamo Riemannovu \(\zeta\) funkciju i njenu \(p\) -adsku interpolaciju. Započinjemo definiranjem Bernoullijevih brojeva \(B_k\) koji se javljaju u formuli za \(\zeta(2k)\) koju potom dokazujemo. Nadalje, promatramo topologiju na \(\mathbb{Q}_p\) te uvodimo kompaktno-otvorene skupove i lokalno konstantne funkcije. Njih zatim koristimo u definiciji \(p\)-adskih distribucija te navodimo nekoliko primjera istih. Dotičemo se i Bernoullijevih polinoma \(B_k(x) \) i Bernoullijevih distribucija, te uvodimo mjere i integraciju u \(\mathbb{Q}_p\). Koristeći uvedene distribucije i izraze za \(\zeta(2k)\), definiramo \(p\) -adske interpolacije \(\zeta\)-funkcije. U trećem poglavlju govorimo o gama funkciji. Dajemo njenu definiciju i dokaz njenih osnovnih svojstava. Pritom se prisjećamo nekih pojmova iz područja kompleksne analize poput analitičkih funkcija, polova i reziduuma. Poglavlje završavamo upotrebom gama funkcije pri dokazivanju formule za razvoj hiperbolnog sinusa u beskonačni produkt koja se bila spominjala u drugom poglavlju.
Sažetak (engleski) This thesis focuses on \(p\)-adic numbers and provides a sort of an introduction to the \(p\)-adic analysis. Its main goal is to define the field of \(p\)-adic numbers \(\mathbb{Q}_p\) and lay the foundation for introduction of the \(p\)-adic analogue of the set of complex numbers \(\mathbb{C}\). The paper is divided into three chapters. We begin the first chapter by recalling the concepts of fields, metrics, norms, and metric spaces. Then we introduce a new type of distance that we will deal with throughout the rest of the paper, namely \(p\)-adic distance. We also distinguish norms depending on whether they are Archimedean or non-Archimedean. We define equivalent norms and metrics, prove their various properties and mention the Ostrowski theorem. Then we recall the construction of complex numbers and in a similar way we construct the field of \(p\)-adic numbers \(\mathbb{Q}_p\). In the rest of the chapter we study its arithmetic and prove the important Hensel lemma. In the second chapter we study the Riemann \(\zeta\) function and its \(p\)-adic interpolation. We start by defining the Bernoulli numbers \(B_k\) that appear in the formula for\(\zeta(2k)\), which we then prove. Furthermore, we observe the topology on \(\mathbb{Q}_p\) and introduce compactopen sets and locally constant functions. We then use them in the definition of \(p\)-adic distributions and give a few examples. We also touch on Bernoulli polynomials \(B_k(x) \) and Bernoulli distributions, and introduce measures and integration in \(\mathbb{Q}_p\). Using the introduced distributions and expressions for \(\zeta(2k)\), we define \(p\)-adic interpolations of the \(\zeta\)-function. In the third chapter we talk about the gamma function. We give its definition and proof of its basic properties. In doing so, we recall some concepts from the field of complex analysis such as analytical functions, poles and residues. We conclude the chapter by using the gamma function in proving the infinite product identity for hyperbolic sine that was mentioned in the second chapter.
Ključne riječi
\(p\)-adska analiza
teorem Ostrowskog
Henselova lema
Riemannova \(\zeta\) funkcija
Bernoullijevi polinomi
Bernoullijeve distribucije
gama funkcija
razvoj hiperbolnog sinusa
Ključne riječi (engleski)
\(p\)- adic analysis
Ostrowski theorem
Hensel lemma
Riemann \(\zeta\) function
Bernoulli polynomials
Bernoulli distributions
gamma function
hyperbolic sine
Jezik hrvatski
URN:NBN urn:nbn:hr:217:488675
Studijski program Naziv: Matematička statistika Vrsta studija: sveučilišni Stupanj studija: diplomski Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
Vrsta resursa Tekst
Način izrade datoteke Izvorno digitalna
Prava pristupa Otvoreni pristup
Uvjeti korištenja
Datum i vrijeme pohrane 2022-03-25 12:12:51