Processing math: 3%
prikaz prve stranice dokumenta Primitivni korijeni
  Preuzmi
PDF 391.05 KB
diplomski rad
Primitivni korijeni
Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. urn:nbn:hr:217:024300
Milković, Marija
Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Matematički odsjek

Institucijski repozitorij: Repozitorij Prirodoslovno-matematičkog fakulteta

Citirajte ovaj rad

Milković, M. (2022). Primitivni korijeni (Diplomski rad). Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet. Preuzeto s https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:024300

Milković, Marija. "Primitivni korijeni." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:024300

Milković, Marija. "Primitivni korijeni." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:024300

Milković, M. (2022). 'Primitivni korijeni', Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, citirano: 22.03.2025., https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:024300

Milković M. Primitivni korijeni [Diplomski rad]. Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet; 2022 [pristupljeno 22.03.2025.] Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:024300

M. Milković, "Primitivni korijeni", Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, 2022. Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:024300

Za citiranje koristite ovu mrežnu adresu: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:024300
Podaci o radu
NaslovPrimitivni korijeni
Naslov (engleski)Primitive roots
AutorMarija Milković
MentorZrinka Franušić (mentor)
Član povjerenstvaZrinka Franušić (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstvaAleksandra Čižmešija (član povjerenstva)
Član povjerenstvaMatija Bašić (član povjerenstva)
Član povjerenstvaPavle Pandžić (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila
akademski / stručni stupanj		Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
(Matematički odsjek)
Zagreb
Datum i država obrane2022-03-03, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko
područje, polje i grana		PRIRODNE ZNANOSTI
Matematika
Sažetak
Prema Eulerovom teoremu za relativno proste brojeve a∈Zi n∈N vrijedi a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod n. Najmanji prirodni broj d sa svojstvom da je a^d\equiv1 \pmod n zove se red od a modulo n. Ako je d=\varphi(n) , a se naziva primitivni korijen modulo n, a skup \{a^1, a^2, \ldots, a^{\varphi(n)}\} čini reducirani sustav ostataka modulo n. To povlači da je \mathbb{Z}_n^* ciklička grupa, pri čemu je a generator... Više te grupe. Ne postoji primitivni korijen modulo n za svaki prirodan broj n. Pokazuje se da primitivni korijen modulo n postoji ako i samo ako je n=2, 4, p^k ili n=2p^k, pri čemu je p prost broj i k\in \mathbb{N}. S obzirom da \{a^0, a^1, \ldots, a^{\varphi(n)-2}\} čini reducirani sustav ostataka modulo n, to nam omogućava definiciju indeksa (diskretnog logaritma) od a u odnosu na primitivni korijen modulo n. Ako je y\in\mathbb{Z} relativno prost s n, tada je index od y s obzirom na a modulo n jednak x\in \{0, 1, \ldots, \varphi(n)-1\} za koji je y\equiv a^x\pmod n. Indeksi imaju svojstva koja su slična onima za logaritme pri čemu se jednakosti zamjenjuju kongruencijama modulo \varphi(n) . U radu su opisane i neke primjene primitivnih korijena i diskretnog logaritma kao što su rješavanje polinomijalnih i eksponencijalnih kongruencija, testovi prostosti i protokol za razmjenu ključeva koji se koristi u kriptografiji.. Sakrij dio sažetka
Sažetak (engleski)
According to Euler’s theorem, for relatively prime numbers a\in \mathbb{Z} and n\in \mathbb{N}, it holds that a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod n. The smallest natural number d with the property a^d\equiv1 \pmod n is called the order of a modulo n. If d=\varphi(n) , then a is called a primitive root modulo n and the set \{a^1, a^2, \ldots, a^{\varphi(n)}\} forms a reduced system of residues modulo n. This implies that \mathbb{Z}_n^* is a... Više cyclic multiplicative group, where the primitive root a is its generator. A primitive root modulo n does not exist for every natural number n. It is shown that a primitive root modulo n exists if and only if n=2, 4, p^k or n=2p^k, where p is a prime number and k\in \mathbb{N}. Considering that \{a^0, a^1, \ldots, a^{\varphi(n)-2}\} is a reduced system of residues modulo n, it leads to a definition of the index (discrete logarithm). If y\in\mathbb{Z} is relatively prime to n, then the index of y to the base a modulo n equals x\in \{0, 1, \ldots, \varphi(n)-1\} such that y\equiv a^x\pmod n. Indices have many properties similar those of logarithms where equalities are replaced with congruences modulo \varphi(n) . In this graduate thesis, some applications of primitive roots and discrete logarithms are described, such as solving polynomial and exponential congruences, primality testing, and the key exchange protocol which is used in cryptography. Sakrij dio sažetka
Ključne riječi
Ključne riječi (engleski)
Jezikhrvatski
URN:NBNurn:nbn:hr:217:024300
Studijski programNaziv: Matematika; smjerovi: nastavnički
Smjer: nastavnički
Vrsta studija: sveučilišni
Stupanj studija: diplomski
Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
Vrsta resursaTekst
Način izrade datotekeIzvorno digitalna
Prava pristupaOtvoreni pristup
Uvjeti korištenjaIkona licence Zaštićeno autorskim pravom.
Datum i vrijeme pohrane2022-03-29 12:04:28
accessibility

closePristupačnostrefresh

Ako želite spremiti trajne postavke, kliknite Spremi, ako ne - vaše će se postavke poništiti kad zatvorite preglednik.