prikaz prve stranice dokumenta p-adski brojevi i algebarska proširenja
  Preuzmi
PDF 216.72 KB
diplomski rad
p-adski brojevi i algebarska proširenja
Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. urn:nbn:hr:217:141590
Šakić, Tina
Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Matematički odsjek

Institucijski repozitorij: Repozitorij Prirodoslovno-matematičkog fakulteta

Citirajte ovaj rad

Šakić, T. (2022). p-adski brojevi i algebarska proširenja (Diplomski rad). Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet. Preuzeto s https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:141590

Šakić, Tina. "p-adski brojevi i algebarska proširenja." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:141590

Šakić, Tina. "p-adski brojevi i algebarska proširenja." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2022. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:141590

Šakić, T. (2022). 'p-adski brojevi i algebarska proširenja', Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, citirano: 03.11.2024., https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:141590

Šakić T. p-adski brojevi i algebarska proširenja [Diplomski rad]. Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet; 2022 [pristupljeno 03.11.2024.] Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:141590

T. Šakić, "p-adski brojevi i algebarska proširenja", Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, 2022. Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:141590

Za citiranje koristite ovu mrežnu adresu: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:141590
Podaci o radu
Naslovp-adski brojevi i algebarska proširenja
Naslov (engleski)p-adic numbers and algebraic expansions
AutorTina Šakić
MentorIgor Ciganović (mentor)
Član povjerenstvaIgor Ciganović (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstvaNikola Sandrić (član povjerenstva)
Član povjerenstvaSiniša Slijepčević (član povjerenstva)
Član povjerenstvaFranka Miriam Brückler (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila
akademski / stručni stupanj		Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
(Matematički odsjek)
Zagreb
Datum i država obrane2022-09-28, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko
područje, polje i grana		PRIRODNE ZNANOSTI
Matematika
Sažetak
U ovom smo se radu bavili proučavanjem p-adskih brojeva koje je prvi puta opisao njemački matematičar Kurt Hensel 1897. godine. Skup p-adskih brojeva opisali smo u kontekstu teorije skupova, algebre i metričkoga prostora. Prvo smo krenuli od prstena \(\mathbb{Z}p\) p-adskih cijelih brojeva, a budući da smo pokazali da je \(\mathbb{Z}p\) integralna domena, proširili smo \(\mathbb{Z}p\) na polje razlomaka koje smo označavali sa \(\mathbb{Q}p\). Vidjeli smo da je na \(\mathbb{Q}p\) moguće definirati ultrametriku. Iskazali smo i dokazali jednu od osnovnih tvrdnji vezanu za p-adske brojeve, Henselovu lemu, koja govori da možemo doći do jedinstvenog rješenja jednadžbe P(x) = 0 za polinom P ∈ \(\mathbb{Z}p\) [x]. Vidjeli smo da je Henselova lema usko vezana na Newtonovu metodu pronalaženja aproksimacije nultočki. Dotaknuli smo se kvadratnih proširenja polja \(\mathbb{Q}p\) kao direktne posljedice Henselove leme. Na kraju smo proučavali algebarska proširenja p-adskih brojeva i vidjeli primjer konačnog Galoisovog proširenja.
Sažetak (engleski)
In this master’s thesis we study p-adic numbers which were first described by Kurt Hensel, German mathematician, in 1897. We describe the set of p-adic numbers in context of set theory, algebra and metric spaces. First we observe the ring of p-adic integers, denoted by \(\mathbb{Z}p\). Ring \(\mathbb{Z}p\) is shown to be an integral domain, so it’s possible to define the field of fractions of \(\mathbb{Z}p\), which we denote by \(\mathbb{Q}p\). Also, we define an ultrametrics on \(\mathbb{Q}p\). We give a proof of Hensel’s lemma, one of the fundamental statements of p-adic theory, which shows that there is an unique solution of P(x) = 0 for x ∈ \(\mathbb{Z}p\) and P ∈ \(\mathbb{Z}p\) [x]. Also, we observe some connections between Newton’s method for finding an approximate solutions for f (x) = 0, and Hensel’s lemma. As direct consequence of Hensel’s lemma we observe quadratic extensions of \(\mathbb{Q}p\). In the very end of this paper, we study algebraic extensions of p-adic numbers and show an example of a finite Galois extension.
Ključne riječi
Ključne riječi (engleski)
Jezikhrvatski
URN:NBNurn:nbn:hr:217:141590
Studijski programNaziv: Financijska i poslovna matematika
Vrsta studija: sveučilišni
Stupanj studija: diplomski
Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
Vrsta resursaTekst
Način izrade datotekeIzvorno digitalna
Prava pristupaOtvoreni pristup
Uvjeti korištenjaIkona licence Zaštićeno autorskim pravom.
Datum i vrijeme pohrane2022-11-08 13:12:17