Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
prikaz prve stranice dokumenta Teorem o modularnosti
  Preuzmi
PDF 435.76 KB
diplomski rad
Teorem o modularnosti
Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2023. urn:nbn:hr:217:149590
Novak, Ivan
Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Matematički odsjek

Institucijski repozitorij: Repozitorij Prirodoslovno-matematičkog fakulteta

Citirajte ovaj rad

Novak, I. (2023). Teorem o modularnosti (Diplomski rad). Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet. Preuzeto s https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:149590

Novak, Ivan. "Teorem o modularnosti." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2023. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:149590

Novak, Ivan. "Teorem o modularnosti." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2023. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:149590

Novak, I. (2023). 'Teorem o modularnosti', Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, citirano: 22.03.2025., https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:149590

Novak I. Teorem o modularnosti [Diplomski rad]. Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet; 2023 [pristupljeno 22.03.2025.] Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:149590

I. Novak, "Teorem o modularnosti", Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, 2023. Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:149590

Za citiranje koristite ovu mrežnu adresu: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:149590
Podaci o radu
NaslovTeorem o modularnosti
Naslov (engleski)Modularity theorem
AutorIvan Novak
MentorFilip Najman (mentor)
Član povjerenstvaFilip Najman (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstvaAndrej Dujella (član povjerenstva)
Član povjerenstvaGoran Radunović (član povjerenstva)
Član povjerenstvaVanja Wagner (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila
akademski / stručni stupanj		Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
(Matematički odsjek)
Zagreb
Datum i država obrane2023-07-19, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko
područje, polje i grana		PRIRODNE ZNANOSTI
Matematika
Sažetak
U ovom radu bavili smo se teoremom o modularnosti i objektima vezanim za njega; eliptičkim krivuljama, modularnim formama i modularnim krivuljama. Definirali smo modularne forme i odredili neka njihova osnovna svojstva. Nakon toga smo definirali eliptičke krivulje nad poljem kompleksnih brojeva kao kompleksne toruse, te odredili kako izgledaju holomorfne funkcije na njima. Također smo definirali modularne krivulje kao Riemannove plohe i dokazali da one parametriziraju klase eliptičkih krivulja... Više zajedno s nekom informacijom o torziji. Iskazali smo teorem o modularnosti preko uvedenih kompleksno-analitičkih objekata. Pomoću rezultata iz kompleksne analize o kompaktnim Riemannovim plohama smo vidjeli da su prostori modularnih formi za kongruencijske podgrupe konačnodimenzionalni, te iskazali formule za dimenzije. Nakon toga smo definirali Heckeove operatore, normalne operatore na prostorima Γ1(N) koji međusobno komutiraju, uveli pojam svojstvenih formi te novih i starih formi. Definirali smo i L-funkcije modularnih formi te eliptičkih krivulja, te iskazali teorem o modularnosti preko Fourierovih koeficijenata odnosno L-funkcija. Na kraju smo, uz pomoć niza ranije poznatih rezultata o eliptičkim krivuljama, skicirali dokaz Velikog Fermatovog teorema te time ustanovili važnost teorema o modularnosti kao povijesno najtežeg i posljednjeg koraka u dokazu. Sakrij dio sažetka
Sažetak (engleski)
In this paper, we explored the modularity theorem and the mathematical objects related to it: elliptic curves, modular forms, and modular curves. We defined modular forms and discussed some of their basic properties. Afterwards, we defined elliptic curves over the field of complex numbers as complex tori and determined their function fields. We defined modular curves as Riemann surfaces and proved that they parameterize isomorphism classes of elliptic curves together with some information... Više about their torsion. We stated the modularity theorem in terms of those complex-analytic objects. Using results from complex analysis about compact Riemann surfaces, it follows that the spaces of modular forms for congruence subgroups are finite-dimensional and we provided the dimension formulas for those spaces. Next, we defined Hecke operators, which are a family of commuting normal operators on the spaces Γ1(N). We introduced eigenforms as common eigenvectors for all Hecke operators and we explained the concept of newforms. We defined L-functions for modular forms and elliptic curves and stated the modularity theorem in terms of equality of their Fourier coefficients and, equivalently, their L-functions. Finally, with the help of a series of previously known results about elliptic curves, we gave an outline of a proof of Fermat's last Theorem, thereby establishing the significance of the modularity theorem as the historically most difficult and final step in the proof. Sakrij dio sažetka
Ključne riječi
Ključne riječi (engleski)
Jezikhrvatski
URN:NBNurn:nbn:hr:217:149590
Studijski programNaziv: Teorijska matematika
Vrsta studija: sveučilišni
Stupanj studija: diplomski
Akademski / stručni naziv: sveučilišni magistar matematike (univ. mag. math.)
Vrsta resursaTekst
Način izrade datotekeIzvorno digitalna
Prava pristupaOtvoreni pristup
Uvjeti korištenjaIkona licence Zaštićeno autorskim pravom.
Datum i vrijeme pohrane2024-02-09 13:47:56
accessibility

closePristupačnostrefresh

Ako želite spremiti trajne postavke, kliknite Spremi, ako ne - vaše će se postavke poništiti kad zatvorite preglednik.