Naslov Radical isogenies and modular curves Naslov (hrvatski) Radikalne izogenije i modularne krivulje Autor Valentina Pribanić Mentor Matija Kazalicki (mentor)Član povjerenstva Filip Najman (predsjednik povjerenstva)Član povjerenstva Matija Kazalicki (član povjerenstva)Član povjerenstva Nikola Adžaga (član povjerenstva)Član povjerenstva Andrej Dujella (član povjerenstva)Ustanova koja je dodijelila Sveučilište u Zagrebu Datum i država obrane 2024-06-11, Hrvatska Znanstveno / umjetničko PRIRODNE ZNANOSTI Univerzalna decimalna klasifikacijaUDC ) 51 - Matematika Sažetak This thesis explores the connection between radical isogenies and modular curves. Radical isogenies are formulas designed to calculate chains of isogenies of fixed small degree \(N\), introduced by Castryck, Decru, and Vercauteren in [17]. One significant advantage of radical isogeny formulas over other formulas with a similar purpose is that they eliminate the need to generate a point of order \(N\) that generates the kernel of the isogeny. While the authors originally developed radical isogeny formulas using elliptic curves in Tate normal form, in [54] Onuki and Moriya proposed radical isogeny formulas of degrees 3 and 4 on Montgomery curves and attempted to obtain a less complex form of radical isogenies using enhanced elliptic and modular curves. In this thesis, we will first translate the original setup of radical isogenies in Tate normal form into the language of modular curves. Second, we will solve an open problem introduced by Onuki and Moriya regarding radical isogeny formulas on \(X_0(N)\). Chapter 1 provides the necessary background, definitions, and results regarding group theory, elliptic curves, modular curves, etc. Chapter 2 gives a short introduction to cryptography and an overview of post-quantum cryptography, mainly focusing on the isogeny-based post-quantum cryptography. Chapter 3 introduces radical isogenies and radical isogenies on Montgomery curves. The last two chapters are based on the author’s paper [58]. In Chapter 4, we generalize radical isogenies using modular curves. In the final Chapter 5, we extend the setting from the previous Chapter 4 to include the modular curve \(X_0(N)\) and discuss the existence of radical isogeny formulas in this extended setting.
Sažetak (hrvatski) Ovaj rad istražuje vezu između radikalnih izogenija i modularnih krivulja. Radikalne izogenije su formule namijenjene izračunu lanaca izogenija, gdje je svaka izogenija u tom lancu malog, fiksnog stupnja \(N\). Ove formule se u literaturi prvi put pojavljuju 2020. godine u članku [17], autora Castrycka, Decrua i Vercauterena. Ono što razlikuje radikalne izogenije od sličnih formula iste namjene, je to da kod njih ne postoji potreba za poznavanjem ili generiranjem točke reda \(N\) na eliptičkoj krivulji koja generira jezgru izogenije. Radikalne izogenije su originalno razvijene za krivulje u Tateovoj normalnoj formi, a kasnije su Onuki i Moriya, u svom članku [54], pokazali da postoje i radikalne izogenije na Mongomeryjevim krivuljama stupnja 3 i 4, te su pokušali definirati jednostavniji oblik radikalnih izogenija koristeći teoriju modularnih i obogaćenih eliptičkih krivulja. Dva su glavna rezultata ovog rada. Prvo, pokazat ćemo da se radikalne izogenije u Tateovoj normalnoj formi mogu generalizirati koristeći jezik modularnih krivulja. Drugo, riješit ćemo otvoreni problem, koji se prvi put u literaturi pojavio u [54], a tiče se radikalnih izogenija na modularnoj krivulji \(X_0(N)\). U poglavlju 1 definiramo osnovne pojmove i rezultate potrebne za ostatak rada, a direktno vezane za teoriju grupa, eliptičke krivulje, modularne krivulje itd. U poglavlju 2 dan je pregled osnovnih pojmova povezanih s kriptografijom, gdje se posebno fokusiramo na post-kvantnu kriptografiju i post-kvantnu kriptografiju temeljenu na izogenijama. U poglavlju 3 definiramo radikalne izogenije i radikalne izogenije na Montgomeryjevim krivuljama. U zadnja dva poglavlja, koja prate autoričin članak [58], iskazujemo glavne rezultate ovog rada. U poglavlju 4 generaliziramo pojam radikalnih izogenija koristeći teoriju modularnih krivulja. Zatim, u zadnjem poglavlju 5, dodatno proširujemo generalizaciju iz poglavlja 4 kako bismo uključili i modularnu krivulju \(X_0(N)\), te razmatramo mogućnost postojanja radikalnih izogenija u tom proširenom kontekstu.
Ključne riječi
elliptic curves
isogenies
modular curves
enhanced elliptic curves
isogenybased post-quantum cryptography
radical isogenies.
Ključne riječi (hrvatski)
eliptičke krivulje
izogenije
modularne krivulje
obogaćene eliptičke krivulje
post-kvantna kriptografija bazirana na izogenijama
radikalne izogenije.
Jezik engleski URN:NBN urn:nbn:hr:217:217554 Datum promocije 2024 Studijski program Naziv: Matematika Vrsta resursa Tekst Opseg vi, 108 str. Način izrade datoteke Izvorno digitalna Prava pristupa Otvoreni pristup Uvjeti korištenja Datum i vrijeme pohrane 2024-06-27 09:39:26
