Naslov Hilbert-Schmidtovi operatori
Autor Sanela Basarić
Mentor Boris Guljaš (mentor)
Član povjerenstva Boris Guljaš (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstva Ljiljana Arambašić (član povjerenstva)
Član povjerenstva Ante Mimica (član povjerenstva)
Član povjerenstva Vjekoslav Kovač (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet (Matematički odsjek) Zagreb
Datum i država obrane 2015-04-23, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana PRIRODNE ZNANOSTI Matematika
Sažetak David Hilbert i Erhard Schmidt početkom 20. stoljeća, odnosno 1907. godine, dali su prvu studiju o Hilbert-Schmidtovim operatorima te su po njima ti operatori i dobili ime. Za teoriju Hilbert-Schmidtovih operatora vrlo značajan je John von Neumann, iako se većina njegovih rezultata pripisuje John Wilson Calkinu. U ovom diplomskom radu dan je pregled teorije Hilbert-Schmidtovih operatora koji s nuklearnim operatorima čine istaknutu klasu kompaktnih operatora. Na samom početku dali smo osnovnu definiciju Hilbert-Schmitovih operatora na Hilbertovom prostoru, koju smo kasnije proširili do definicije integralnih Hilbert-Schmidtovih operatora na prostoru pozitivne mjere. Pokazali smo da definicija Hilbert-Schmitovih operatora ovisi samo o prostoru na kojemu se definiraju, ali ne i o bazi tog prostora. Dali smo definiciju Hilbert-Schmidtove norme te pokazali da je skup Hilbert-Schmidtovih operatora zajedno s Hilbert-Schmidtovom normom Banachova algebra te obostrani ideal. Nakon sto smo definirali integralne Hilbert-Schmitove operatore pokazali smo da je svaki Hilbert-Schmitov operator kompaktan operator. Vrlo zanimljiva je teorija o tragu Hilbert-Schmitovih operatora, no prije nego li smo krenuli s tim dijelom teorije morali smo iskazati dvije značajne nejednakosti koje su nam prijeko potrebne za ovaj dio teorije, a to su Hadamardova i Carlemanova nejednakost. Hilbert-Schmidtovi operatori su specifični po svome tragu; za razliku od nuklearnih operatora koji imaju konvergentan trag, trag Hilbert-Schmidtovih operatora definira se za par dvaju operatora. Za funkciju traga Hilbert-Schmidtovih operatora pokazali smo da je to simetrična bilinearna funkcija definirana na produktu skupa Hilbert-Schmidtovih operatora sa samim sobom. Također smo pokazali da je trag dvaju kvazi-nilpotentnih Hilbert-Schmidtovih operatora jednak nuli. Osim traga Hilbert-Schmidtovih operatora, ono što je vrlo zanmljivo u ovom radu je odnos Hilbert-Schmidtovog operatora i analitičke funkcije na okolini njegovog spektra. Pokazali smo da za Hilbert-Schmidtov operator \(A\) i funkciju \(f\) koja je analitička na okolini njegovog spektra vrijedi da je \(f(A)\) Hilbert-Schmidtov operator, a zatim smo pokazali zanimljiv odnos traga ovako definiranih Hilbert-Schmidtovih operatora s jedne strane i vrijednosti analitičkih funkcija u točkama spektra s druge strane.
Sažetak (engleski) The first study regarding Hilbert-Schmidt operators was given in the early 20th century by David Hilbert and Erhard Schmidt, after whom the operators were also named. This thesis presents a theoretical overview of Hilbert-Schmidt operators, which together with nuclear operators form a distinct class of compact operators. At the beginning of the thesis a basic definition of Hilbert-Schmidt operators on a Hilbert space was given. Afterwards, that definition was extended to define Hilbert-Schmidt integral operators on a positive measure space. Furthermore, the definition of Hilbert-Schmidt operators was shown to depend only on the space it was defined on, and not on the choice of the base of that space. The Hilbert-Schmidt norm was defined, the set of all Hilbert-Schmidt operators was proved to be a Banach algebra, as well as a two-sided ideal. After defining Hilbert-Schmidt integral operators, each Hilbert-Schmidt operator was shown to be compact. The theory regarding the trace of Hilbert-Schmidt operators yielded some very interesting results, however before going into the details of that theory, it was necessary to define and prove Hadamard’s and Carleman’s inequalities. Hilbert-Schmidt operators have a distinct trace; unlike nuclear operators which have a convergent trace, their trace is defined for a pair of operators. The trace function of Hilbert-Schmidt operators was shown to be a symmetric bilinear function defined on the product of the set of Hilbert-Schmidt operators with itself. Furthermore, the trace of two quasi-nilpotent Hilbert-Schmidt operators was proved to be zero. Besides the results regarding the trace of Hilbert-Schmidt operators, an interesting relation between a Hilbert-Schmidt operator and a function which is analytic in a neighborhood of the operators spectrum was also established. Given an operator \(A\), and a function \(f\) , analytic in a neighborhood of the operators spectrum, \(f(A)\) was shown to be a Hilbert-Schmidt operator. Finally, an interesting relation between the trace of said Hilbert-Schmidt operators on one hand and the values of analytic functions in the points of the spectrum was also established.
Ključne riječi
Hilbert-Schmidtovi operatori
kompaktni operatori
Hadamardova nejednakost
Carlemanova nejednakost
Ključne riječi (engleski)
Hilbert-Schmidt operators
compact operators
Hadamard’s inequality
Carleman’s inequality
Jezik hrvatski
URN:NBN urn:nbn:hr:217:279423
Studijski program Naziv: Primijenjena matematika Vrsta studija: sveučilišni Stupanj studija: diplomski Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
Vrsta resursa Tekst
Način izrade datoteke Izvorno digitalna
Prava pristupa Otvoreni pristup
Uvjeti korištenja
Datum i vrijeme pohrane 2017-05-22 12:55:55