Naslov Algorithms and convergence of the Jacobi-type methods Naslov (hrvatski) Algoritmi i konvergencija metoda Jacobijeva tipa Autor Ana Perković Mentor Erna Begović Kovač (mentor)Član povjerenstva Nela Bosner (predsjednik povjerenstva)Član povjerenstva Zoran Tomljanović (član povjerenstva)Član povjerenstva Zvonimir Bujanović (član povjerenstva)Član povjerenstva Zlatko Drmač (član povjerenstva)Ustanova koja je dodijelila Sveučilište u Zagrebu Datum i država obrane 2025-02-14, Hrvatska Znanstveno / umjetničko PRIRODNE ZNANOSTI Univerzalna decimalna klasifikacijaUDC ) 51 - Matematika Sažetak The Jacobi eigenvalue algorithm is a well-known iterative method used for solving the eigenvalue problem of symmetric matrices. The process is based on matrix diagonalization. In this thesis we study several modifications of the Jacobi method. We work on both matrix and tensor numerical problems. First, we review and generalize the Eberlein method, which is a Jacobi-type method for diagonalization of an arbitrary matrix. We prove the global convergence of the Eberlein method under a broad class
... Više of generalized serial pivot strategies with permutations. Moreover, we discuss the cases of unique and multiple eigenvalues. Next, we consider block-partitioned matrices and introduce a block version of the Eberlein method. We give a convergence proof for the block Eberlein algorithm under the already mentioned class of generalized serial pivot strategies. Lastly, we study the methods for approximate tensor diagonalization. We propose an iterative Jacobi-type trace maximization algorithm for solving this problem on general tensors, as well as the structure-preserving variant for the symmetric tensors. We prove the global convergence for both of our algorithms. All theoretical work is accompanied by numerous numerical examples. Sakrij dio sažetka Sažetak (hrvatski) Jacobijev algoritam je poznata iterativna metoda za rješavanje problema svojstvenih vrijednosti za simetrične matrice. Postupak se temelji na dijagonalizaciji matrice. U ovoj se disertaciji bavimo modifikacijama Jacobijeve metode koje koristimo za rješavanje numeričkih problema za matrice i tenzore. U prvom dijelu rada proučavat ćemo Eberleininu metodu Jacobijevog tipa za dijagonalizaciju opće matrice. Poopćit ćemo Eberleininu metodu i dati dokaz globalne konvergencije za široku klasu tzv.
... Više generaliziranih serijalnih pivotnih strategija s permutacijama. Analizirat ćemo slučaj jednostrukih i višestrukih svojstvenih vrijednosti. Nadalje, promatrat ćemo matrice s blok-particijom te uvesti blok verziju Eberleinine metode. Dat ćemo dokaz konvergencije blok Eberleininog algoritma za već spomenutu klasu generaliziranih serijalnih pivotnih strategija. Naposljetku, promatrat ćemo problem približne dijagonalizacije tenzora. Predstavit ćemo iterativni algoritam Jacobijevog tipa temeljen na maksimizaciji traga tenzora. Konstruirat ćemo algoritam za opće tenzore te njegovu varijantu za simetrične tenzore u kojoj je očuvana polazna simetrična struktura. Za oba algoritma dokazat ćemo globalnu konvergenciju. Svi teorijski rezultati će biti popraćeni brojnim numeričkim primjerima. Disertacija je podijeljena u četiri poglavlja. U prvom poglavlju dan je osvrt na rezultate iz literature. Opisan je realni i kompleksni Jacobijev algoritam za rješavanje problema svojstvenih vrijednosti i izvedene su formule za računanje kutova transformacije. Opisano je nekoliko klasa pivotnih strategija. Poglavlje se nastavlja teorijom o Jacobijevim anihilatorima i operatorima koji se koriste u brojnim rezultatima o konvergenciji za standardnu Jacobijevu metodu i za druge metode Jacobijeva tipa. Koristit ćemo tu teoriju za dokaz konvergencije Eberleinine metode po elementima, ali i njene blok varijante. Prvo poglavlje završava osvrtom na teoriju o konvergenciji Jacobijeva algoritma. Drugo poglavlje temelji se na članku [10] od Begović Kovač i Perković objavljenom 2024. godine. Prvo je dan pregled postojećih rezultata o konvergenciji Eberleinine metode, za realni i kompleksni slučaj. Glavni dio poglavlja je proširenje globalne konvergencije metode na široku klasu generaliziranih serijalnih pivotnih strategija. Pokaže se da, za proizvoljnu početnu matricu A, Eberleinina metoda konvergira uz bilo koju strategiju iz navedene klase. Niz matrica A ( k ) , k ≥ 0 ( A ( k ) + ( A ( k ) ) ∗ ) / 2 , k ≥ 0 A A A ( k ) A R k S k , k ≥ 0 d d ( p , q ) Sakrij dio sažetka Ključne riječi
Jacobi-type method
matrix diagonalization
pivot strategies
global convergence
tensor diagonalization
Ključne riječi (hrvatski)
Metoda Jacobijeva tipa
dijagonalizacija matrice
pivotne strategije
globalna konvergencija
dijagonalizacija tenzora
Jezik engleski URN:NBN urn:nbn:hr:217:716226 Projekt Šifra: UIP-2019-04-5200 Studijski program Naziv: Matematika Vrsta resursa Tekst Opseg vii, 158 str. Način izrade datoteke Izvorno digitalna Prava pristupa Otvoreni pristup Uvjeti korištenja Datum i vrijeme pohrane 2025-03-04 10:14:06
