Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
prikaz prve stranice dokumenta Računanje i analiza matrične funkcije predznaka
  Preuzmi
PDF 455.13 KB
diplomski rad
Računanje i analiza matrične funkcije predznaka
Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2016. urn:nbn:hr:217:466011
Stopić, Petra
Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Matematički odsjek

Institucijski repozitorij: Repozitorij Prirodoslovno-matematičkog fakulteta

Citirajte ovaj rad

Stopić, P. (2016). Računanje i analiza matrične funkcije predznaka (Diplomski rad). Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet. Preuzeto s https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:466011

Stopić, Petra. "Računanje i analiza matrične funkcije predznaka." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2016. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:466011

Stopić, Petra. "Računanje i analiza matrične funkcije predznaka." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2016. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:466011

Stopić, P. (2016). 'Računanje i analiza matrične funkcije predznaka', Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, citirano: 24.03.2025., https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:466011

Stopić P. Računanje i analiza matrične funkcije predznaka [Diplomski rad]. Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet; 2016 [pristupljeno 24.03.2025.] Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:466011

P. Stopić, "Računanje i analiza matrične funkcije predznaka", Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, 2016. Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:466011

Za citiranje koristite ovu mrežnu adresu: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:466011
Podaci o radu
NaslovRačunanje i analiza matrične funkcije predznaka
AutorPetra Stopić
MentorNela Bosner (mentor)
Član povjerenstvaNela Bosner (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstvaSaša Singer (član povjerenstva)
Član povjerenstvaJosip Tambača (član povjerenstva)
Član povjerenstvaVedran Krčadinac (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila
akademski / stručni stupanj		Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
(Matematički odsjek)
Zagreb
Datum i država obrane2016-07-14, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko
područje, polje i grana		PRIRODNE ZNANOSTI
Matematika
Sažetak
Matrična predznak funkcija je objašnjena pomoću dvije definicije. Pristup dvjema definicijama se temelji na svojstvenim vrijednostima. Prva je definicija preko Jordanove forme, dok je druga pomoću interpolacijskog polinoma. Koordinatna ravnina koja se koristi je kompleksna pa je važno za sign(A) s koje se strane imaginarne osi nalaze svojstvene vrijednosti od A. Funkcija S:=sign(A) ima specifična svojstva kao što su involutornost, dijagonalizabilnost i komutativnost sa A. ... Više Schurov algoritam za računanje matrične funkcije predznaka koristi Schurovu dekompoziciju matrice A te primjenu sign funkcije na gornjetrokutastu matricu iz dekompozicije. Složenost mu je O(n3), a sveukupno za algoritam je potrebno oko 863n3 operacija da bi se došlo do rješenja. Slijedeća metoda opisana u radu je bila Newtonova. Newtonova metoda koristi Newtonove iteracije te je dokazan teorem o konvergenciji Newtonovih iteracija prema sign(A). Također taj teorem pokazuje da je brzina konvergencije kvadratna te pomoću njega vidimo da će konvergencija biti sporija ako su svojstvene vrijednosti od A blizu imaginarne osi te ako je spektralni radijus ρ(A) puno veći od 1. Sam algoritam metode zahtjeva otprilike 2in3 za i koraka Newtonovih iteracija. Složenost mu je također O(n3). Učinkoviti način da se poveća brzine konvergencije može ponekad biti skaliranje iteracija. Zato postoje i Newtonove skalirane iteracije koje su slične običnima, osim što se kako im ime kaže množe sa nekim određenim skalarom. U tekstu su korištena tri skalara: pomoću determinante, spektralnog radijusa te norme. Dokazan je teorem o konvergenciji spektralno skaliranih iteracija prema sign(A) funkciji. Naime, konvergiraju nakon d+p−1 koraka gdje je d broj različitih svojstvenih vrijednosti od A, a p je određen dimenzijom najvećeg Jordanovog bloka od A. Algoritam skalirane metode zahtjeva 2in3 za i iteracija. Postoji još jedna vrsta iteracija koja je izvedena iz formule: sign(A):=A(A2)−12 a to su Padéove iteracije. Temelje se na racionalnim polinomnim funkcijama. Matrična iteracija ovisi o kvadratnoj potenciji i inverzu matrice. Teorem o konvergenciji Padéoveih iteracija govori o dva slučaja: kada je konvergencija iteracija lokalna i globalna. Brzina u oba slučaja je l+m+1 gdje su l i m stupnjevi polinoma koji se koriste u toj Padéoveoj aproksimaciji. Numerička stabilnost iteracija je objašnjena pomoću teorema koji daje rezultat da su iteracije koje superlinearno konvergiraju prema sign(A) numerički stabilne, Fréchetova derivacija od iteracijske funkcije u S je idempotentna i vrijedi da je Fréchetova derivacija od iteracijske funkcije jednaka Fréchetovoj derivacija od sign funkcije te jednaka 12(H−SHS) gdje je H perturbacijska matrica. Zbog tih rezultata zaključujem da za ograničenu uvjetovanost matrice S:=sign(A) iteracija iz gornjeg teorema je stabilna. Također, isto vrijedi ako H i S komutiraju. Što se tiče iteracija, analizirana je i njihova konačnost, odnosno koliko je iteracija potrebno da bi se došlo do rješenja. Dokazan je teorem o granicama za rezidualnu pogrešku ||Xi−S|| te relativnu pogrešku ||Xi−S||||S|| za iteracije Xi što nam pomaže u odabiru kriterija zaustavljanja. Osjetljivost i uvjetovanost matrice su objašnjene pomoću relativnog broja uvjetovanosti funkcije sign. Teorem daje rezultat o donjoj i gornjoj granici za broj uvjetovanosti sign funkcije u odnosu na matricu A te matricu S. Sakrij dio sažetka
Sažetak (engleski)
Matrix sign function is defined in two ways. Both definitions require values of sign function on the spectrum of A. First definition is about Jordan canonial form and the other with polynomial interpolation. Everything is based on the complex coordinate plane so for sign function it's important to know if eigenvalues are on the right or left side of the plane. Function sign(A) has some useful properties: involution, diagonalizable matrix and commutation with A. Schur algorithm... Više is based on Schur decomposition. The problem is therefore to computing sign(T) where matrix T is triangular matrix from decomposition. The complexity of the algorithm is O(n3). In total, 863n3 flops are needed to get the solution. The next method is Newton's. It uses Newton's iterations. In that chapter, theorem about quadratically convergence of Newton's sign iterations is proven. The other result from that theorem is that iterations will converge slower if the spectral radius is much greater than 1 and also if eigenvalues of A are very close to the imaginary axe. The method requires 2in3 where i is the number of used iterations. The complexity of the algorithm is also O(n3). An effective way to enhance the initial speed of convergence is to scale the iterations. That's why scaled Newton's iterations exist. They are very similar to the original Newton's iterations. The only difference is that scalar is multiplied by original iteration. There are three types of that positive and real scalar: determinantal, spectral and norm. There is the theorem which tells that scaled Newton's iterations converge to sign(A). The finite iteration will be after d+p−1 steps where d is the number of distinct eigenvalues and p is determined with dimension of the largest Jordan block. Algorithm needs 2in3 flops for i iterations. There is one more kind of the iterations which is derivatived from formula: sign(A):=A(A2)−12 and their name is Padé iterations. They are determined on rational polynomial functions. The theorem about convergence of Padé iterations contains two cases: global and local convergence. Speed of the convergence in both cases is l+m+1 where l and m are degrees of polynomials which are used in that Padé approximation. Numerical stability of iterations is explained by theorem which gives the result that iterations which superlineary converge to sign(A) are stable. Also, Fréchet derivation of the iteration function in S is idempotent and it's equal to Fréchet derivation of sign function. They are both equal to: 12(H−SHS) where H is small perturbation. Because of these results, I conclude that for bounded condition of the matrix S:=sign(A), iteration is stable. That is also valid when H i S commute. Also, in relation with iterations, stopping criteria is analyzed. The theorem about residual error and relative error boundaries is also proven. Sensitivity and condition of matrices are explained by relative condition number of the function sign. The result from that part gives the boundaries for condition number of sign function. Sakrij dio sažetka
Ključne riječi
Ključne riječi (engleski)
Jezikhrvatski
URN:NBNurn:nbn:hr:217:466011
Studijski programNaziv: Financijska i poslovna matematika
Vrsta studija: sveučilišni
Stupanj studija: diplomski
Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
Vrsta resursaTekst
Način izrade datotekeIzvorno digitalna
Prava pristupaOtvoreni pristup
Uvjeti korištenjaIkona licence Zaštićeno autorskim pravom.
Datum i vrijeme pohrane2019-02-07 14:54:23
accessibility

closePristupačnostrefresh

Ako želite spremiti trajne postavke, kliknite Spremi, ako ne - vaše će se postavke poništiti kad zatvorite preglednik.