Cilj ovog rada je bio istražiti obilježja trajektorija Brownova gibanja pomoću tehnika koje koriste Hausdorffovu dimenziju. Pokazali smo da Brownovo gibanje gotovo sigurno nisu nigdje diferencijabilne te da je za \(\alpha < 1/2\) svugdje lokalno \(\alpha\)-Hölder neprekidno. Jedno od zanimljivih svojstava planarnog Brownova gibanja je to da se Brownovo gibanje s vjerojatnošću jedan vraća u okolinu iz koje je krenulo, odnosno da svaku okolinu posjećuje beskonačno mnogo puta. Spomenuli smo i važnu klasu slučajnih procesa - Markovljeve procese. U radu smo također promatrali razne skupove izvedene iz Brownova gibanja poput skupa nultočki, skupa lokalnih maksimuma i skupa rekorda, pri čemu se ključnim pokazala činjenica da Brownovo gibanje zadovoljava jako Markovljevo svojstvo. Rezultati koje smo dobili pokazuju da, iako su trajektorije Brownova gibanja gotovo sigurno neprekidne, skup nultočki je beskonačan i bez izoliranih točaka. Osim toga, u slučaju linearnoga Brownova gibanja vidjeli smo da je to, kao i skup rekorda, fraktalni skup Hausdorffove dimenzije 1/2. Također, pokazali smo da je dimenzija grafa linearnoga Brownova gibanja jednaka 3/2, a u slučaju višedimenzionalnoga Brownova gibanja dimenzije grafa i slike jednake su i iznose 2. Na kraju rada dokazali smo dva klasična teorema iz područja koje se bavi Hausdorffovom dimenzijom, Frostmanovu lemu i McKeanov teorem. McKeanov teorem pokazuje da je dimenzija skupa na koji se preslikava Brownovo gibanje dva puta veća od dimenzije početnog skupa.