Dit proefschrift beschrijft de stabiele homotopietheorie van ‘dendröıdale verzamelingen’. Dit onderwerp behoort tot de algebraïsche topologie, een vakgebied binnen de wiskunde waarin de interactie tussen algebraïsche en topologische structuren wordt bestudeerd. Voorbeelden van topologische ruimtes met een rijke algebraïsche structuur zijn ruimtes van lussen en hoger-dimensionale bollen in een topologische ruimte. Naarmate de dimensie van deze bollen toeneemt krijgen de ruimtes van bollen een rijkere algebraïsche structuur, te beginnen met de structuur van een \(A_{\infty}\)-algebra op lusruimtes en convergerend naar de structuur van een \(E_{\infty}\)-algebra op zogenaamde ‘oneindige geïtereerde lusruimtes’. Dergelijke structuren bestaan uit een oneindige verzameling operaties die voldoen aan verscheidene coherentiecondities. Omdat het moeilijk is om grip op dit soort data te krijgen, wordt doorgaans gebruik gemaakt van topologische operaden om dergelijke structuren efficient te beschrijven. Een operade kan worden gezien als de blauwdruk voor een algebraïsche structuur; de concrete realisaties van de blauwdruk zijn ruimtes met deze algebraïsche structuur. Het werk van P. May, M. Boardman en R. Vogt uit de vroege jaren 70 gebruikt topologische operaden om een karakterisering te geven van (geïtereerde) lusruimtes. In de jaren 90 groeide het besef dat er behoefte was aan een goede homotopietheorie van operaden. De theorie van dendoïdale verzamelingen biedt een nieuwe context voor het bestuderen van operaden op homotopie na. Dendroïdale verzamelingen werden geïntroduceerd in 2007 door I. Moerdijk en I. Weiss. Later werk van I. Moerdijk en D.-C. Cisinski laat zien dat dendroïdale verzamelingen inderdaad een model bieden voor topologische (of simpliciale) operaden. Het voordeel van dit model is dat het een natuurlijke uitbreiding vormt van de theorie van simpliciale verzamelingen. De theorie van dendroïdale verzamelingen is zeer combinatorisch van aard, aangezien zij is gebaseerd op het begrip van een boom (een graaf zonder lussen). Bovendien heeft de categorie van dendroïdale verzamelingen de goede categorische eigenschappen van een categorie van preschoven. Simpliciale verzamelingen bieden een combinatorische beschrijving van topologische ruimtes: een simpliciale verzameling kan worden gezien als de beschrijving van een triangulatie van een ruimte. Op dezelfde manier geven dendro¨ıdale verzamelingen een combinatorisch model voor oneindige lusruimtes, samen met hun gecompliceerde algebraïsche structuur. De precieze formulering van dit idee is een van de onderwerpen van dit proefschrift. Onze resultaten kunnen rigoreus worden geformuleerd in termen van Quillens theorie van mo delcategorieën. Mo delcategoriëen bieden een wiskundig formalisme waarbinnen verschillende so orten homotopietheorieën (zoals topologische ruimtes, ketencomplexen, simpliciale verzamelingen of operaden) kunnen worden bestudeerd en vergeleken. Een van de hoofdresultaten van dit proefschrift is het feit dat de categorie van dendroïdale verzamelingen de structuur kan worden gegeven van een modelcategorie, zodat de onderliggende homotopietheorie equivalent is aan de homotopietheorie van oneindige lusruimtes (of equivalent, de homotopietheorie van groepachtige \(E_{\infty}\)-ruimtes of connectieve spectra, d.w.z. spectra zonder homotopie in negatieve graden). We noemen deze modelstructuur de stabiele modelstructuur op de categorie van dendroïdale verzamelingen. Het is niet eenvoudig om een modelstructuur te construeren. In ons geval hebben we een grote hoeveelheid technische, combinatorische resultaten nodig over dendroïdale verzamelingen (d.w.z. over de combinatoriek van bomen). Ter vereenvoudiging van onze argumenten ontwikkelen we in hoofdstuk 4 een combinatorische methode om resultaten te bewijzen over dendoïdale ‘anodyne extensions’. Deze techniek kan op zichzelf al worden gezien als resultaat, aangezien het ook toepasbaar is buiten de context waarin we het in de latere hoofdstukken gebruiken. We geven twee constructies van de stabiele modelstructuur. De eerste constructie is eenvoudiger en geeft bovendien een karakterisatie van de ‘fibrations’ tussen ‘fibrant objects’. Deze constructie is gebaseerd op standaard model-categorische argumenten en wordt gegeven in hoofdstuk 5. Hoofdstuk 6 beschrijft een tweede constructie, die is gebaseerd op het werk van G. Heuts. Deze aanpak maakt het mogelijk om te laten zien dat de stabiele modelstructuur op dendroïdale verzamelingen Quillen equivalent is aan een modelstructuur op \(E_{\infty}\)-ruimtes, waar de fibrant objects worden gegeven door de groepachtige \(E_{\infty}\)-ruimtes. De equivalentie met groepachtige \(E_{\infty}\)-ruimtes (of connectieve spectra) kan worden gezien als een meetkundige realisatie van dendroïdale verzamelingen. Bovendien biedt dit nieuwe mogelijkheden om (het connectieve deel van) klassieke stabiele homotopie theorie te bestuderen. De resultaten uit hoofdstuk 7 geven hier een goed voorbeeld van. In dit laatste hoofdstuk beschrijven we de homologiegroepen van dendroïdale verzamelingen. Deze homologietheorie vormt een uitbreiding van de klassieke homologietheorie van simpliciale verzamelingen (m.a.w. de singuliere homologie van ruimtes). Deze generalisatie is subtieler dan men in eerste instantie zou verwachten: de combinatoriek van planaire bomen suggereert het gebruik van een bepaalde tekenconventie, maar we dienen met niet-planaire bomen te werken. Na de homologiegroepen te hebben gedefinieerd laten we zien dat deze homotopie-invariant zijn en overeenkomen met de standaard homologiegroepen van het bijbehorend connectieve spectrum. De resultaten uit hoofdstukken 6 en 7 zijn verkregen in samenwerking met T. Nikolaus.