Naslov Time-changed stochastic models: fractional Pearson diffusions and delayed continuous-time autoregressive processes Naslov (hrvatski) Stohastički modeli u transformiranom vremenu: frakcijske Pearsonove difuzije i odgođeni autoregresivni procesi u neprekidnom vremenu Autor Ivan Papić Mentor Nikolai N. Leonenko (mentor)72939235 Mentor Nenad Šuvak (komentor)Član povjerenstva Bojan Basrak (predsjednik povjerenstva)Član povjerenstva Mirta Benšić (član povjerenstva)Član povjerenstva Danijel Grahovac (član povjerenstva)Član povjerenstva Nenad Šuvak (član povjerenstva)Član povjerenstva Nikolai N. Leonenko (član povjerenstva)72939235 Ustanova koja je dodijelila Sveučilište u Zagrebu Datum i država obrane 2019-01-08, Hrvatska Znanstveno / umjetničko PRIRODNE ZNANOSTI Univerzalna decimalna klasifikacijaUDC ) 51 - Matematika Sažetak In this thesis we study time-changed stochastic models via inverse of the standard stable subordinator. Moreover, we study two types of such models: fractional Pearson diffusions and delayed continuous-time autoregressive processes. In Chapter 2 we review the connection between fractional calculus and stochastic processes, i.e. connection between fractional differential equations and time-changed stochastic processes. Chapter 3 gives a review on modern theory of diffusion processes with emphasize on the corresponding infinitesimal generator and its spectral properties. Moreover, we define the family of Pearson diffusions and give an overview of their properties, including spectral structure of the corresponding infinitesimal generator and spectral representation of transition densities of Pearson diffusions. In Chapter 4 we define fractional Pearson diffusions. We give an overview of known results regarding non-heavy-tailed fractional Pearson diffusions and prove several results regarding heavy-tailed fractional Pearson diffusions. In particular, we establish spectral representations of their transition densities, strong solutions of fractional Cauchy problems which involve corresponding infinitesimal generator, and we show that they exhibit long-range dependence property. Next in Chapter 5, we give a general framework in our setting on how to construct time-changed stochastic process, which as the weak limit in J1 topology has a desired diffusion process. Based on this result, we define correlated continuous time random walks which as the limiting processes have fractional Pearson diffusions. In the last Chapter 6 we define delayed Lévy-driven continuous-time autoregressive processes, where we study their correlation and distributional properties.
Sažetak (hrvatski) Prva osoba koja je uvela ideju slučajnih procesa u transformiranom vremenu korištenjem subordinatora, tj. transformaciju slučajnog procesa u novi slučajni proces putem slučajnog vremena dobivenog subordinatorom, bio je Bochner 1949. godine. To ujedno predstavlja početke stohastičkih modela u transformiranom vremenu. U posljednjih nekoliko desetljeća postoji snažan interes za stohastičke modele u transformiranom vremenu koji uključuju inverz standardnog stabilnog subordinatora umjesto samog subordinatora. Takvi modeli su interesantni jer mogu opisati periode vremena kada proces miruje. Također postoji snažna veza između frakcionalnog računa i slučajnih procesa dobivenih putem takvog slučajnog vremena. Naime, pokazuje se da vremenski-promijenjeni slučajni procesi, odnosno stohastički modeli u transformiranom vremenu, imaju funkcije gustoće koje rješavaju odgovarajuće frakcionalne diferencijalne jednadžbe. S druge strane, može se pokazati da su takvi stohastički modeli u transformiranom vremenu granični procesi odgovarajućih (koreliranih) slučajnih šetnji u neprekidnom vremenu. Inače, slučajne šetnje u neprekidnom vremenu su često korišten alat u statističkoj fizici, gdje se koriste kao model gibanja čestica. Stoga, takvi modeli povezuju frakcionalne diferencijalne jednadžbe, odgođene slučajne procese i (korelirane) slučajne šetnje u neprekidnom vremenu i mogu biti korisni u raznim područjima. U ovom radu, proučavaju se dvije vrste stohastičkih modela u transformiranom vremenu: frakcijske Pearsonove difuzije i odgođeni autoregresivni procesi u neprekidnom vremenu. U prvom dijelu rada analizirat će se frakcijske Pearsonove difuzije, tj. Pearsonove difuzije u transformiranom vremenu putem inverza standardnog stabilnog subordinatora. Eksplicitno će se izračunati spektralna reprezentacija prijelaznih funkcija gustoće frakcijskih Pearsonovih difuzija s teškim repovima i jaka rješenja odgovarajućih vremenski - frakcionalnih Kolmogorovljevih jednadžbi unazad s pripadnim početnim uvjetom. Nadalje, na temelju korelacijske strukture frakcijskih Pearsonovih difuzija pokazat će se da su to stohastički modeli s dugoročnom zavisnošću. Također, uspostavit će se stohastičke diferencijalne jednadžbe koje opisuju frakcijske Pearsonove difuzije. U sljedećem koraku dokazat će se konvergencija specifično definiranih koreliranih slučajnih šetnji u neprekidnom vremenu prema frakcijskim Pearsonovim difuzijama. Konkretno, pokazat ćemo da se frakcijske Pearsonove difuzije koje nemaju teške repove mogu dobiti kao granični proces koreliranih slučajnih šetnji u neprekidnom vremenu koje su konstruirane i motivirane poznatim modelima urni: Laplace-Bernoullijev i Wright-Fisherov model urni. S druge strane korelirane slučajne šetnje u neprekidnom vremenu koje kao granični proces imaju frakcijske Pearsonove difuzije s teškim repovima, nisu konstruirane na temelju nekog konkretnog modela. Dakle, Pearsonove difuzije u transformiranom vremenu pokazat će se kao stohastički model čije funkcije gustoće rješavaju odgovarajuće vremenski – frakcionalne Kolmogorovljeve jednadžbe unazad, a s druge strane su granični procesi odgovarajućih koreliranih slučajnih šetnji u neprekidnom vremenu. Na taj način, frakcijske Pearsonove difuzije se mogu interpretirati kao stohastički, frakcionalni i fizikalni model. U drugom dijelu rada razmatraju se odgođeni autoregresivni procesi u neprekidnom vremenu, pri čemu je pogonski proces Lévyjev proces, odnosno autoregresivni procesi u neprekidnom vremenu s pogonskim Lévyjevim procesom, koje je odgođeno inverzom standardnog stabilnog subordinatora. Na temelju generalnih i asimptotskih svojstava Mittag-Lefflerovih funkcija, bit će izračunata korelacijska struktura odgođenih autoregresivnih procesa u neprekidnom vremenu, a na temelju kojih će se ustvrditi da i ovi stohastički modeli u transformiranom vremenu imaju dugoročnu zavisnost. Također, bit će izvedena određena distribucijska svojstva.
Ključne riječi
Pearson diffusions
fractional Pearson diffusions
spectral representation of transition density
correlation structure
correlated continuous time random walks
urn-scheme models
delayed continuous-time autoregressive processes
Caputo fractional derivative
Mittag-Leffler function
inverse of the standard stable subordinator
Ključne riječi (hrvatski)
Pearsonove difuzije
frakcijske Pearsonove difuzije
spektralna reprezentacija prijelazne funkcije gustoće
korelacijska struktura
korelirane slučajne šetnje u neprekidnom vremenu
modeli urni
odgođeni autoregresivni procesi u neprekidnom vremenu
Caputova frakcionalna derivacija
Mittag-Lefflerova funkcija
inverz standardnog stabilnog subordinatora
Jezik engleski URN:NBN urn:nbn:hr:217:650367 Studijski program Naziv: Matematika Vrsta resursa Tekst Opseg vii, 149 str. Način izrade datoteke Izvorno digitalna Prava pristupa Otvoreni pristup Uvjeti korištenja Datum i vrijeme pohrane 2019-03-20 11:41:51
