prikaz prve stranice dokumenta Izogenije eliptičkih krivulja
  Preuzmi
PDF 376.44 KB
diplomski rad
Izogenije eliptičkih krivulja
Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2021. urn:nbn:hr:217:534598
Orlić, Petar
Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Matematički odsjek

Institucijski repozitorij: Repozitorij Prirodoslovno-matematičkog fakulteta

Citirajte ovaj rad

Orlić, P. (2021). Izogenije eliptičkih krivulja (Diplomski rad). Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet. Preuzeto s https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:534598

Orlić, Petar. "Izogenije eliptičkih krivulja." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2021. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:534598

Orlić, Petar. "Izogenije eliptičkih krivulja." Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, 2021. https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:534598

Orlić, P. (2021). 'Izogenije eliptičkih krivulja', Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, citirano: 21.03.2025., https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:534598

Orlić P. Izogenije eliptičkih krivulja [Diplomski rad]. Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet; 2021 [pristupljeno 21.03.2025.] Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:534598

P. Orlić, "Izogenije eliptičkih krivulja", Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, 2021. Dostupno na: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:534598

Za citiranje koristite ovu mrežnu adresu: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:534598
Podaci o radu
NaslovIzogenije eliptičkih krivulja
Naslov (engleski)Izogenije eliptičkih krivulja
AutorPetar Orlić
MentorFilip Najman (mentor)
Član povjerenstvaFilip Najman (predsjednik povjerenstva)
Član povjerenstvaSlaven Kožić (član povjerenstva)
Član povjerenstvaMarko Erceg (član povjerenstva)
Član povjerenstvaMarko Vrdoljak (član povjerenstva)
Ustanova koja je dodijelila
akademski / stručni stupanj		Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
(Matematički odsjek)
Zagreb
Datum i država obrane2021-07-22, Hrvatska
Znanstveno / umjetničko
područje, polje i grana		PRIRODNE ZNANOSTI
Matematika
Sažetak
U ovom radu bavili smo se izogenijama eliptičkih krivulja. Prvo smo definirali eliptičke krivulje i operaciju zbrajanja, a zatim se posvetili izogenijama. Nakon uvodnih definicija i primjera naveli smo i dokazali neka njihova osnovna svojstva. Nakon toga prešli smo na modularne krivulje. Definirali smo modularne krivulje X0(N) i X1(N) preko kongruencijskih podgrupa modularne grupe SL2(Z). Zatim smo iskazali tvrdnju da su to algebarske... Više krivulje definirane nad Q, a nakon toga smo dokazali teoreme koji daju vezu točaka na modularnoj krivulji i eliptičkih krivulja. Takoder smo dali primjere kako se modularne krivulje mogu koristiti u dokazivanju tvrdnji za eliptičke krivulje. Onda smo krenuli na Mazurov teorem. Naveli smo slučajeve u kojima krivulja X0(N) ima racionalne nekaspidalne točke i rekli da teorem kaže da su to svi slučajevi kad je N prost, a nakon toga smo počeli obradivati pojmove i razultate potrebne za dokaz teorema. Koristeći polje p-adskih brojeva Qp uveli smo pojmove potencijalno dobre i potencijalno multiplikativne redukcije i, uz pomoć Atkin-Lehnerove involucije, kojoj smo takođr posvetili malo vremena, dokazali važnu pomoćnu tvrdnju. Zatim smo definirali karakter izogenije, ciklotomski karakter i mod N-Galoisove reprezentacije eliptičkih krivulja. Pokazali smo neke veze izmedu tih pojmova i iskazali rezultat o faktorizaciji karaktera izogenije. Iza toga smo definirali Frobeniusov trag, naveli neka njegova svojstva i iskazali vezu s karakterom izogenije. Naposlijetku, uz pomoć rezultata iz ovog rada te nekoliko teorema iz algebarske teorije brojeva dokazali smo Mazurov teorem.. Sakrij dio sažetka
Sažetak (engleski)
In this thesis we considered isogenies of elliptic curves. We first defined elliptic curves and the addition operation, after which we turned to isogenies. After some introductory definitions and examples, we stated and proved some of their basic properties. After that, we considered modular curves. We defined modular curves X0(N) and X1(N) using the congruence subgroups of the modular group SL2(Z). Then we stated the fact that these... Više are algebraic curves defined over Q and proved the theorems that give the connection between points on a modular curve and elliptic curves. We also gave examples of how modular curves can be used to prove statements about elliptic curves. Then we moved on to Mazur's theorem. We listed the cases when the curve X0(N) has rational non-cuspidal points and mentioned that the theorem says that these are all the cases when N is a prime number. After that, we started considering notions and results needed for the proof of the theorem. Using the field of p-adic numbers Qp we introduced the notions of potential good and potential multiplicative reduction and, using the Atkin-Lehner involution, which we also considered for a while, proved an important auxiliary statement. We then defined the isogeny character, the cyclotomic character and mod N-Galois representations of elliptic curves. We proved some connections between these notions and stated a result about the factorization of the isogeny character. Next, we defined the trace of Frobenius, stated its basic properties and linked it with the isogeny character. Finally, using the results from this paper and several algebraic number theory theorems we proved Mazur's theorem. Sakrij dio sažetka
Ključne riječi
Ključne riječi (engleski)
Jezikhrvatski
URN:NBNurn:nbn:hr:217:534598
Studijski programNaziv: Teorijska matematika
Vrsta studija: sveučilišni
Stupanj studija: diplomski
Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
Vrsta resursaTekst
Način izrade datotekeIzvorno digitalna
Prava pristupaOtvoreni pristup
Uvjeti korištenjaIkona licence Zaštićeno autorskim pravom.
Datum i vrijeme pohrane2021-09-16 10:33:31
accessibility

closePristupačnostrefresh

Ako želite spremiti trajne postavke, kliknite Spremi, ako ne - vaše će se postavke poništiti kad zatvorite preglednik.